用Python学《微积分B》（有理式与简单无理式积分套路）

前一篇介绍了“换元法”和“分部积分”两种一般的求积分的方法，这一篇主要学习对“有理式”和“简单无理式”求积分的套路。这一篇是对不定积分方法的总结，在此特地介绍一个在线积分器和symbolab，对于复杂的积分式可以用它们辅助计算。

一、知识点

1，四个分式模式
所谓的“套路”，都是通过一系列变换，把被积函数转化为“积分表”中的函数及其组合。积分表中有四个积分式对于分式有理式非常重要，甚至被总结为四种模式（pattern）。
1）一次单因式（对数模式）

∫Aax+bdx=Aaln|ax+b|+C

\int \frac{A}{ax+b}dx = \frac{A}{a}ln|ax+b|+C
2）一次k重因式

∫A(ax+b)kdx=A(1−k)a⋅1(ax+b)k−1+C

\int \frac{A}{(ax+b)^{k}}dx = \frac{A}{(1-k)a}\cdot \frac{1}{(ax+b)^{k-1}}+C
上式运用了“凑微分”。
3）二次单因式（反正切模式）

∫Bx+Dpx2+qx+rdx=B2p∫2px+qpx2+qx+rdx+(D−Bq2p)1p∫dx(x+q2p)2+4pr−q24p2=B2pln∣∣px2+qx+r∣∣+2pD−qBp4pr−q2−−−−−−−√arctan(2px+q4pr−q2−−−−−−−√)+C

\int \frac{Bx+D}{px^{2}+qx+r}dx = \frac{B}{2p}\int \frac{2px+q}{px^{2}+qx+r}dx + (D-\frac{Bq}{2p})\frac{1}{p}\int \frac{dx}{(x + \frac{q}{2p})^{2}+\frac{4pr-q^{2}}{4p^{2}}} \\ = \frac{B}{2p}ln\left | px^{2}+qx+r \right |+\frac{2pD-qB}{p\sqrt{4pr-q^{2}}}arctan(\frac{2px+q}{\sqrt{4pr-q^{2}}})+C
4）二次k重因式

∫Bx+D(px2+qx+r)kdx=B2p(1−k)⋅1(px2+qx+r)k−1+2pD−qBp4pr−q2−−−−−−−√∫dx[(x+q2p)2+(4pr−q2√2p)2]k

\int \frac{Bx+D}{(px^{2}+qx+r)^{k}}dx = \frac{B}{2p(1-k)}\cdot \frac{1}{(px^{2}+qx+r)^{k-1}}+\frac{2pD-qB}{p\sqrt{4pr-q^{2}}}\int \frac{dx}{[(x + \frac{q}{2p})^{2}+(\frac{\sqrt{4pr-q^{2}}}{2p})^{2}]^{k}}
上式先“凑微分”，然后换元，再分部积分，并运用递归，可以求出原函数。其中，∫dx(x2+a2)n\int \frac{dx}{(x^{2}+ a^{2})^{n}}，n是大于1的自然数使用分部积分可以得到它的递归公式，如下：

In+1=2n−12na2In+x2na2(x2+a2)n+1

I_{n+1}=\frac{2n-1}{2na^{2}}I_{n}+\frac{x}{2na^{2}(x^{2}+a^{2})^{n+1}}

I1=1aarctan(xa)+C

I_{1}=\frac{1}{a}arctan(\frac{x}{a})+C
2，分式有理式
定理：设Pm(x)Qn(x)\frac{P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}是一真分式，则它可以唯一地分解为最简分式之和。
例：

∫x+1x2−4x+3dx=∫[Ax−1+Bx−3]dx

\int \frac{x+1}{x^{2}-4x+3}dx=\int [\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x-3}]dx
通分，解系数方程，求出A和B。
分式有理式求积分的方法又称为“部分分式积分法”（Interation by Partial Fractions），它是基于“部分分式分解”（Partial Fraction decomposition）得来的一种求特定积分的方法。sympy提供了“apart()”函数用于执行“部分分式分解”操作。下面再给几个相关链接：
部分分式积分
partial fraction expand in matlab
3，三角函数有理式
对sin(x)和cos(x)及常数进行有限次的四则运算得到的表达式称为“三角函数有理式”，记作R( sin x, cos x )，其中 R - Rational
对于三角函数有理式∫R[sin(x),cos(x)]dx\int R[sin(x), cos(x)]dx的积分套路如下：
（根据“三角函数万能公式”）取t=tanx2t=tan\frac{x}{2},则x=2arctan(t),dx=21+t2dt,sin(x)=2t1+t2,cos(x)=1−t21+t2x=2arctan(t),dx=\frac{2}{1+t^{2}}dt,sin(x)=\frac{2t}{1+t^{2}},cos(x)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}，于是可得：

∫R[sin(x),cos(x)]dx=∫R[2t1+t2,1−t21+t2]21+t2dt

\int R[sin(x), cos(x)]dx=\int R[\frac{2t}{1+t^{2}}, \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}]\frac{2}{1+t^{2}}dt
很显然，这里应用的是“反函数换元法”（第二类换元法）。
4，简单无理式
无理式积分的困难在于被积函数中带有开发运算，因此，一般的思路是先进行“有理化”。如下：
1）∫R(x,ax+b−−−−−√n)dx,(a≠0)\int R(x,\sqrt[n]{ax+b})dx,\; (a\neq 0)
取ax+b=tnax+b=t^{n}，可得

∫R(x,ax+b−−−−−√n)dx=∫R(tn−ba,t)ntn−1adt

\int R(x,\sqrt[n]{ax+b})dx=\int R(\frac{t^{n}-b}{a},t)\frac{nt^{n-1}}{a}dt
2）∫R(x,ax+bcx+d−−−−√n)dx\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx
取ax+bcx+d=tn\frac{ax+b}{cx+d}=t^{n}，可得

∫R(x,ax+bcx+d−−−−−−√n)dx=∫R(tnd−ba−tnc,t)n(ad−cb)tn−1(a−ctn)2dx

\int R(x,\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}})dx = \int R(\frac{t^{n}d-b}{a-t^{n}c}, t)\frac{n(ad-cb)t^{n-1}}{(a-ct^{n})^{2}}dx
3）∫R(x,ax2+bx+c−−−−−−−−−−√)dx,(a≠0)\int R(x,\sqrt{ax^{2}+bx+c})dx,\; (a\neq 0)
先凑成“平方和”或“平方差”形式，再应用三角函数“平方公式”进行变量替换。
4，可积与求出积分
在“不定积分的概念”那一节，讲到“连续函数”甚至“满足介值定理的函数”都可积（原函数存在）。但是，“可积”不代表一定能求出它的积分表达式（用初等函数表示），例如：e−x2,sin(x)x,1ln(x),1−12sin2(x)−−−−−−−−−−−√e^{-x^{2}},\; \frac{sin(x)}{x},\; \frac{1}{ln(x)},\; \sqrt{1-\frac{1}{2}sin^{2}(x)}。
事实上，大多数初等函数的原函数都不能表示为初等函数。这从一个侧面显示了“求导”的降维作用，它可以把非初等函数问题转换为初等函数问题来研究。

二、思考题

1，是否所有的分式有理函数在实数范围内都可以化为形如ax−b\frac{a}{x - b}简单分式的和？
答：否！本课程中的“Partial Fraction decomposition”定理只是说可以将任意有理分式分解化为最简分式，而这里所说的最简分式包含了四个，而不只是一次单因式。比如，并不是所有的二次单因式都能化为一次单因式。

2，是否可以得到“分式有理函数的不定积分都可以用初等函数表示”的结论？
答：是！首先，所有的分式有理函数都可以化为一个多项式（整式）与一个真分式之和。然后，根据定理，所有的真分式又可以分解为四个模块（最简分式）的线性组合，而最简分式都可积，且积分后的原函数都是初等函数，那么这个命题成立。
注：这个问题非常有意思。有了计算机之后，人们开始从繁琐的运算中解放出来了，当然这个运算也包括积分运算。但是，对于计算机来说，判断一个函数是否可积，是比按程序计算积分更大的挑战。而从这个问题出发，人们可以先判断一个函数是否可积，可积再交给计算机去执行积分运算，不可积就不要浪费时间和计算资源了。或许，这也暗合“数据标记”吧！

三、选择题

from sympy import *
init_printing()
#Exercise 6-4-3
x = Symbol('x')
integrate(1 / (1 - x ** 2), x)

−12log(x−1)+12log(x+1)

- \frac{1}{2} \log{\left (x - 1 \right )} + \frac{1}{2} \log{\left (x + 1 \right )}

#Exercise 6-4-4
t = Symbol('t')
integrate((t+4) / (t ** 2 + 5 * t - 6), t)

57log(t−1)+27log(t+6)

\frac{5}{7} \log{\left (t - 1 \right )} + \frac{2}{7} \log{\left (t + 6 \right )}

#Exercise 6-4-5
x = Symbol('x')
integrate((2 * x ** 2 + 2 * x + 13) / ((x - 2) * (x ** 2 + 1) ** 2), x)

−4x−32x2+2+log(x−2)−12log(x2+1)−4atan(x)

- \frac{4 x - 3}{2 x^{2} + 2} + \log{\left (x - 2 \right )} - \frac{1}{2} \log{\left (x^{2} + 1 \right )} - 4 \operatorname{atan}{\left (x \right )}

#Exercise 6-4-6
x = Symbol('x')
integrate(1 / (x ** 4 + 1), x)

−2√8log(x2−2√x+1)+2√8log(x2+2√x+1)+2√4atan(2√x−1)+2√4atan(2√x+1)

- \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x^{2} - \sqrt{2} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{2}}{8} \log{\left (x^{2} + \sqrt{2} x + 1 \right )} + \frac{\sqrt{2}}{4} \operatorname{atan}{\left (\sqrt{2} x - 1 \right )} + \frac{\sqrt{2}}{4} \operatorname{atan}{\left (\sqrt{2} x + 1 \right )}

对于∫1x4+1dx=?\int \frac{1}{x^{4} + 1}dx=?，sympy已经求出了积分，但是这个结果可以写得更简单一些。其中对数表达式可以合并，反正切表达式也可以合并。关于反正切的合并如下：
根据正切函数的和差公式：tan(α±β)=tan(α)±tan(β)1∓tan(α)tan(β)tan(\alpha \pm \beta )=\frac{tan(\alpha )\pm tan(\beta )}{1\mp tan(\alpha )tan(\beta )}，两边取反函数，可得：

arctan(a)±arctan(b)=α±β=arctan[tan(α)±tan(β)1∓tan(α)tan(β)]=arctana±b1∓ab

arctan(a)\pm arctan(b)=\alpha \pm \beta=arctan[\frac{tan(\alpha )\pm tan(\beta )}{1\mp tan(\alpha )tan(\beta )}]=arctan\frac{a \pm b}{1 \mp ab}
所以，这个积分的结果可以简写为：

∫11+x4dx=2√8lnx2+2√x+1x2−2√x+1+2√4arctanx2−12√x+π2+C

\int \frac{1}{1+x^{4}}dx=\frac{\sqrt{2}}{8}ln\frac{x^{2}+\sqrt{2}x+1}{x^{2}-\sqrt{2}x+1}+\frac{\sqrt{2}}{4}arctan\frac{x^{2}-1}{\sqrt{2}x}+\frac{\pi }{2}+C
注意：反正切函数合并后，又用了反正切函数的“负数关系”和“倒数关系”。
下面再来看手动计算：
1）首先试着因式分解，很明显，不是很容易分解。那么不妨假设根据有理分式的分解定理，将它分解成4个二次k重因式的组合。
2）列方程组解出各系数。
3）分别对各个因式积分。
注：从这一题，我得到了一个意外的发现，对于像11+x4\frac{1}{1+x^{4}}或1+x41+x^{4}这样的式子，直接用sympy的apart()函数，并不能对它进行分解。如果我们要做的不是求积分，而是进行“partial fraction decomposition”，不妨反过来，先求积分，再对各部分求导，这正式因式分解需要的么？

#Exercise 6-5-1
x = Symbol('x')
integrate(1 / (sin(x) + 1), x)

−2tan(x2)+1

- \frac{2}{\tan{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1}

#Exercise 6-5-2
x = Symbol('x')
integrate(1 / (1 - cos(x)), x)

−1tan(x2)

- \frac{1}{\tan{\left (\frac{x}{2} \right )}}

#Exercise 6-5-3
x = Symbol('x')
integrate((1+sin(x)) / (1 + cos(x)), x)

log(tan2(x2)+1)+tan(x2)

\log{\left (\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1 \right )} + \tan{\left (\frac{x}{2} \right )}

#Exercise 6-5-4
x, a = symbols('x a')
b = Symbol('b', nonzero=True)
integrate(tan(x) / (a ** 2 * (cos(x)) ** 2 +  b ** 2 * (sin(x)) ** 2), x)

∫tan(x)a2cos2(x)+b2sin2(x)dx

\int \frac{\tan{\left (x \right )}}{a^{2} \cos^{2}{\left (x \right )} + b^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}\, dx

#Exercise 6-5-4b
x, t, a = symbols('x t a')
b = Symbol('b', nonzero=True)
expr1 = 2 * t / (1 + t ** 2)
expr2 = (1 - t ** 2) / (1 + t ** 2)
expr3 = 2 / (1 + t ** 2)
expr = simplify((expr1 / expr2) / (a ** 2 * expr2 ** 2 + b ** 2 * expr1 ** 2) * expr3)
inte = integrate(expr, t)
expr, inte

⎛⎝⎜−4t(t2+1)(t2−1)(a2(t2−1)2+4b2t2),−1b2log(t2−1)+12b2log(t4+1+t2a2(−2a2+4b2))⎞⎠⎟

\left ( - \frac{4 t \left(t^{2} + 1\right)}{\left(t^{2} - 1\right) \left(a^{2} \left(t^{2} - 1\right)^{2} + 4 b^{2} t^{2}\right)}, \quad - \frac{1}{b^{2}} \log{\left (t^{2} - 1 \right )} + \frac{1}{2 b^{2}} \log{\left (t^{4} + 1 + \frac{t^{2}}{a^{2}} \left(- 2 a^{2} + 4 b^{2}\right) \right )}\right )

inte.subs(t, tan(x / 2))

−1b2log(tan2(x2)−1)+12b2log(tan4(x2)+1+1a2(−2a2+4b2)tan2(x2))

- \frac{1}{b^{2}} \log{\left (\tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} - 1 \right )} + \frac{1}{2 b^{2}} \log{\left (\tan^{4}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1 + \frac{1}{a^{2}} \left(- 2 a^{2} + 4 b^{2}\right) \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \right )}

进一步化简，将半角化简掉。
根据三角函数半角公式：

tan(θ2)=±1−cos(θ)1+cos(θ)−−−−−−−−−√=sin(θ)1+cos(θ)=1−cos(θ)sin(θ)

tan(\frac{\theta }{2})=\pm \sqrt{\frac{1-cos(\theta )}{1+cos(\theta )}}=\frac{sin(\theta)}{1+cos(\theta)}=\frac{1-cos(\theta)}{sin(\theta)}
代入上式，并合并对数，再化简可得：

x, t, a, b = symbols('x t a b')
expr = log((t ** 4 + 1 - 2 * t ** 2 + 4 * b ** 2 / a ** 2 * t ** 2) / (t ** 2 -1) ** 2)
expr, simplify(expr.subs(t, sqrt((1 - cos(x)) / (1 + cos(x)))))

⎛⎝log⎛⎝1(t2−1)2(t4−2t2+1+4b2a2t2)⎞⎠,log(1+b2a2tan2(x))⎞⎠

\left ( \log{\left (\frac{1}{\left(t^{2} - 1\right)^{2}} \left(t^{4} - 2 t^{2} + 1 + \frac{4 b^{2}}{a^{2}} t^{2}\right) \right )}, \quad \log{\left (1 + \frac{b^{2}}{a^{2}} \tan^{2}{\left (x \right )} \right )}\right )

#Exercise 6-5-5
x = symbols('x')
integrate(sin(2 * x) / ((cos(x)) ** 2 +  2 * sin(x)), x)

∫sin(2x)2sin(x)+cos2(x)dx

\int \frac{\sin{\left (2 x \right )}}{2 \sin{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}\, dx

很明显，这个直接积分积不出来。当然，我们也可试着用上一题的方法来换元，但是，最后的结果会很复杂，也不能像上一题一样化简。那么，我们根据它的特点来手动计算吧：

∫sin(2x)cos2(x)+2sin(x)dx=∫sin(2x)1−sin2(x)+2sin(x)dx=∫2sin(x)d[sin(x)]1−sin2(x)+2sin(x)

\int \frac{sin(2x)}{cos^{2}(x)+2sin(x)}dx=\int \frac{sin(2x)}{1-sin^{2}(x)+2sin(x)}dx=\int \frac{2sin(x)d[sin(x)]}{1-sin^{2}(x)+2sin(x)}
然后再应用换元法

x, t = symbols('x t')
expr = integrate(2 * t / (1 - t ** 2 + 2 * t), t)
expr.subs(t, sin(x))

−2(−2√4+12)log(sin(x)−1+2√)−2(2√4+12)log(sin(x)−2√−1)

- 2 \left(- \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}\right) \log{\left (\sin{\left (x \right )} - 1 + \sqrt{2} \right )} - 2 \left(\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2}\right) \log{\left (\sin{\left (x \right )} - \sqrt{2} - 1 \right )}

#Exercise 6-5-6
x, t = symbols('x t')
expr = integrate(6 * t ** 4 / (t ** 5 + 1), t)
expr.subs(t, x ** (1 / 6))

65log(x0.833333333333333+1)

\frac{6}{5} \log{\left (x^{0.833333333333333} + 1 \right )}

#Exercise 6-5-7
x, t = symbols('x t')
expr = integrate(t * sqrt(t + 2), t)
expr

6t921+2t−−−−−√15t2+30t+16t721+2t−−−−−√15t2+30t−8t521+2t−−−−−√15t2+30t−32t321+2t−−−−−√15t2+30t+162√t215t2+30t+322√t15t2+30t

\frac{6 t^{\frac{9}{2}} \sqrt{1 + \frac{2}{t}}}{15 t^{2} + 30 t} + \frac{16 t^{\frac{7}{2}} \sqrt{1 + \frac{2}{t}}}{15 t^{2} + 30 t} - \frac{8 t^{\frac{5}{2}} \sqrt{1 + \frac{2}{t}}}{15 t^{2} + 30 t} - \frac{32 t^{\frac{3}{2}} \sqrt{1 + \frac{2}{t}}}{15 t^{2} + 30 t} + \frac{16 \sqrt{2} t^{2}}{15 t^{2} + 30 t} + \frac{32 \sqrt{2} t}{15 t^{2} + 30 t}

#Exercise 6-5-7b
x, t = symbols('x t')
expr = integrate((t ** 2 -2) * t * 2 * t, t)
expr, expr.subs(t, sqrt(x - 2))

(2t55−4t33,25(x−2)52−43(x−2)32)

\left ( \frac{2 t^{5}}{5} - \frac{4 t^{3}}{3}, \quad \frac{2}{5} \left(x - 2\right)^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} \left(x - 2\right)^{\frac{3}{2}}\right )

#Exercise 6-5-8
x = symbols('x')
expr = integrate(sqrt(x ** 2 -2 * x + 1) / (x -1), x)
expr

x2−2x+1−−−−−−−−−√

\sqrt{x^{2} - 2 x + 1}

#Exercise 6-5-9
x = symbols('x')
expr = integrate(sqrt(E ** x + 1), x)
expr

∫ex+1−−−−−√dx

\int \sqrt{e^{x} + 1}\, dx

很明显，这个直接积分积不出来。先“有理化”换元，再积分：

#Exercise 6-5-9b
x, t = symbols('x t')
expr = integrate(2 * t ** 2 / (t ** 2 - 1), t)
expr.subs(t, sqrt(E ** x + 1))

2ex+1−−−−−√+log(ex+1−−−−−√−1)−log(ex+1−−−−−√+1)

2 \sqrt{e^{x} + 1} + \log{\left (\sqrt{e^{x} + 1} - 1 \right )} - \log{\left (\sqrt{e^{x} + 1} + 1 \right )}

#Exercise 6-5-10
x = symbols('x')
expr = integrate(((x - 1) * (x + 1) ** 2) ** (1 / 3), x)
expr

∫((x−1)(x+1)2)0.333333333333333dx

\int \left(\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}\right)^{0.333333333333333}\, dx

这一题不能直接换元，需要先变换。如下：

∫dx(x−1)(x+1)2−−−−−−−−−−−−√3=∫dx(x+1)∗x−1x+1−−−√3

\int \frac{dx}{\sqrt[3]{(x-1)(x+1)^{2}}}=\int \frac{dx}{(x+1)*\sqrt[3]{\frac{x-1}{x+1}}}

#Exercise 6-5-10b
x, t = symbols('x t')
g = ((x - 1) / (x + 1)) ** (1 / 3)
eq = Eq(g, t)
solve(eq, x)

[−t3+1.0t3−1.0]

\left [ - \frac{t^{3} + 1.0}{t^{3} - 1.0}\right ]

diff(-(t ** 3 + 1) / (t ** 3 - 1), t)

−3t2(−t3−1)(t3−1)2−3t2t3−1

- \frac{3 t^{2} \left(- t^{3} - 1\right)}{\left(t^{3} - 1\right)^{2}} - \frac{3 t^{2}}{t^{3} - 1}

x, t = symbols('x t')
h = diff(-(t ** 3 + 1) / (t ** 3 - 1), t)
expr = - (t ** 3 - 1) / (2 * t) * h
inte = integrate(expr, t)
inte.subs(t, ((x - 1) / (x + 1)) ** (1 / 3))

−log((x−1x+1)0.333333333333333−1)+12log((x−1x+1)0.333333333333333+(x−1x+1)0.666666666666667+1)−3√atan(23√3(x−1x+1)0.333333333333333+3√3)

- \log{\left (\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{0.333333333333333} - 1 \right )} \\+ \frac{1}{2} \log{\left (\left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{0.333333333333333} + \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{0.666666666666667} + 1 \right )} \\- \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left (\frac{2 \sqrt{3}}{3} \left(\frac{x - 1}{x + 1}\right)^{0.333333333333333} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right )}