《用 Python 学微积分》原文见参考资料 1。

13、大 O 记法

比较两个函数时，我们会想知道，随着输入值 x 的增长或减小，两个函数的输出值增长或减小的速度究竟谁快谁慢。通过绘制函数图，我们可以获得一些客观的感受。

比较 x!、ex、x3 和 log(x) 的变化趋势。

importnumpy as npimportsympyimportmatplotlib.pyplot as plt

x= range(1,7)

factorial= [np.math.factorial(i) for i inx]

exponential= [np.e**i for i inx]

polynomial= [i**3 for i inx]

logarithmic= [np.log(i) for i inx]

plt.plot(x,factorial,'black',\

x,exponential,'blue',\

x,polynomial,'green',\

x,logarithmic,'red')

plt.show()

View Code

根据上图，当 x—>∞ 时，x!>ex>x3>ln(x)。要想证明的话，可以取极限，用洛必达法则，例如：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{e^x}{x^3}=\infty$$

表明当 x—>∞ 时，虽然分子分母都在趋向无穷大，但分子远远凌驾于分母之上。类似地，也可以这样看：

$$\lim_{x\rightarrow \infty}\frac{ln(x)}{x^3}=0$$

表明分母远远凌驾于分子之上。

SymPy 是 Python 的数学符号计算库，用它可以进行数学公式的符号推导。下面代码用 SymPy 来推导上面两式。

importsympyfrom sympy.abc importx#sympy中无限infty用oo表示

print ((sympy.E**x)/(x**3)).limit(x,sympy.oo)#result is: oo

print (sympy.ln(x)/x**3).limit(x,sympy.oo)#result is 0

View Code

为了描述这种随着 x—>∞ 或 x—>0 时函数的表现，我们定义如下大 O 记法：

若我们称函数 f(x) 在 x—>0 时是 O(g(x))，则需要找到一个常数 C，对于所有足够小的 x，均有 |f(x)|

若我们称函数 f(x) 在 x—>∞ 时是 O(g(x))，则需要找到一个常数 C，对于所有足够大的 x，均有 |f(x)|

之所以叫大 O 记法，是因为函数的增长速率很多时候被称为函数的阶(Order)。

例如，当 x—>∞ 时，x(1+x2)1/2 是 O(x2)，下面来个直观感受。

下图是两个函数的变化趋势，红线是 x(1+x2)1/2 ，蓝线是 2x2 。

importsympyfrom sympy.abc importximportnumpy as npimportmatplotlib.pyplot as plt

xvals= np.linspace(0,100,1000)

f= x*sympy.sqrt(1+x**2)

g= 2*x**2y1= [f.evalf(subs={x:xval}) for xval inxvals]

y2= [g.evalf(subs={x:xval}) for xval inxvals]

plt.plot(xvals[:10],y1[:10],'r',xvals[:10],y2[:10],'b')#plt.plot(xvals,y1,'r',xvals,y2,'b')

plt.show()

View Code

Sympy 可以帮助我们分析函数的阶，如下面求 x(1+x2)1/2 的阶。

importsympyfrom sympy.abc importx

f= x*sympy.sqrt(1+x**2)printsympy.O(f, (x, sympy.oo))#result is : O(x**2, (x, oo))

计算机中使用大 O 记法，通常是分析当输入数据 —>∞ 时，程序在时间或空间上的表现。然而，从上面的介绍，我们知道这个位置可以是 0，甚至可以是任何有意义的位置。

importsympyfrom sympy.abc importx

f= x*sympy.sqrt(1+x**2)printsympy.O(f, (x, 0))#result is : O(x)

在前面泰勒级数一节，利用 Sympy 取函数泰勒级数的前几项时，代码是这样：

importsympyfrom sympy.abc importx

exp= sympy.E**x

sum15= exp.series(x,0,15).removeO()print sum15

其中 removeO() 的作用是让 sympy 忽略掉级数展开后的大 O 表示项。不然结果如下：

importsympyfrom sympy.abc importx

exp= sympy.E**xprint exp.series(x, 0, 3)#result is: 1 + x + x**2/2 + O(x**3)

这表示从泰勒级数的第 4 项起，剩余所有项在 x—>0 时是 O(x3)。这表明，当 x—>0 时，用 1+x+0.5x2 来近似 ex ，我们得到的误差上限将是 Cx3，其中 C 是一个常数。也就是说，大 O 记法能用来描述我们使用多项式近似时的误差。

另外大 O 记法也可以直接参与计算中去，例如要计算：

$$cos(x^2)\sqrt{(x)}$$

在 x—>0 时阶 O(x5) 以内的多项式近似，可以这样：

$$cos(x^2)\sqrt{(x)}=(1-\frac{1}{2}x^4+O(x^6))x^{\frac{1}{2}}$$

$$\qquad = x^{\frac{1}{2}}-    \frac{1}{2}x^{\frac{9}{2}} + O(x^{\frac{13}{2}})$$

importsympyfrom sympy.abc importxprint (sympy.cos(x**2)*sympy.sqrt(x)).series(x,0,5)#result is: sqrt(x) - x**(9/2)/2 + O(x**5)

14、导数

对函数某一点求导，得到的是函数在该点处切线的斜率。选中函数图像中某一点，不断放大，最后会发现函数图像一条直线，这条直线就是切线。下面获得一些直观的感受。

import numpy asnpfromsympy.abc import x

import matplotlib.pyplotasplt

# 函数

f= x**3-2*x-6# 在x=6处正切于函数的切线

line= 106*x-438d1= np.linspace(2,10,1000)

d2= np.linspace(4,8,1000)

d3= np.linspace(5,7,1000)

d4= np.linspace(5.8,6.2,100)

domains=[d1,d2,d3,d4]

# 画图的函数

def makeplot(f,l,d):

plt.plot(d,[f.evalf(subs={x:xval}) for xval in d],'b',\

d,[l.evalf(subs={x:xval}) for xval in d],'r')for i inrange(len(domains)):

# 绘制包含多个子图的图表

plt.subplot(2, 2, i+1)

makeplot(f,line,domains[i])

plt.show()

View Code

导数定义 1：

$$f'(a)=\frac{df}{dx}\bigg|_{x=a}=\lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

若该极限不存在，则函数在 x=a 处的导数不存在。

导数定义 2：

$$f'(a)=\frac{df}{dx}\bigg|_{x=a}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$$

若该极限不存在，则函数在 x=a 处的导数不存在。

导数定义 3：

函数 f(x) 在 x=a 处的导数 f'(a) 是满足如下条件的常数 C，对于在 a 附近输入值的微小变化 h，有 f(a+h)=f(a)+Ch+O(h2) 始终成立。也就是说导数 C 输入值变化中一阶项的系数。上式稍加变化，两边同时除以 h，并同时取极限可得：

$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}C+O(h)=C$$

便与上面定义 2 相一致了。

例如求 cos(x) 在 x=a 处的导数：

$$cos(a+h)=cos(a)cos(h)-sin(a)sin(h)$$

$$\qquad = cos(a)(1+O(h^2))-sin(a)(h+O(h^3))$$

$$\qquad = cos(a)-sin(a)h +O(h^2)$$

所以：

$$\frac{d}{dx}{cos(x)}\bigg|_{x=a}=-sin(a)$$

我们可以自己定义求导的函数：

importnumpy as npfrom sympy.abc importx

f= lambda x: x**3-2*x-6

#我们设定参数h的默认值，如果调用函数时没有指明参数h的值，便会使用默认值

def derivative(f,h=0.00001):return lambda x: float(f(x+h)-f(x))/h

fprime=derivative(f)print fprime(6)#result is：106.000179994

Sympy 也提供求导的方法：

from sympy.abc importx

f= x**3-2*x-6

printf.diff()#result is :3*x**2 - 2

print f.diff().evalf(subs={x:6})#result is : 106.0000000000

依据导数的定义 3，有  f(a+h)=f(a)+f'(a)h+O(h2)，如果将高阶项丢掉，就获得了 f(a+h) 的线性近似式子：f(a+h)≈f(a)+f'(a)h。

例如，用线性近似的方法估算 2551/2：

$$\sqrt{256-1}\approx \sqrt{256}+\frac{1}{2\sqrt{256}}(-1)$$

$$\qquad = 16 - \frac{1}{32}$$

$$\qquad = 15\frac{31}{32}$$

15、牛顿迭代法

如何在不使用 x1/2 前提下求 C 的正二次根。

上述问题等价于求 f(x)=x2+C=0 的解，根据上面介绍的线性近似：f(x+h)≈f(x)+f'(x)h 。如果 f(x+h)=0，那么：

$$h\approx -\frac{f(x)}{f'(x)}$$

$$x+h\approx x - \frac{f(x)}{f'(x)}$$

如果我们对 f(x)=0 的解有一个初始估计 x0，便可以用上面的近似不断获取更加准确的估计值，方法为：

$$x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_n)}{f'_{x_n}}$$

将 f(x)=x2+C 代入上式，即得 xn 的更新规则：

$$x_{n+1} = \frac{1}{2}(x_{n}+\frac{C}{x_{n}})$$

from sympy.abc importxdef mysqrt(c, x = 1, maxiter = 10, prt_step =False):for i inrange(maxiter):

x= 0.5*(x+ c/x)if prt_step ==True:#在输出时，{0}和{1}将被i+1和x所替代

print "After {0} iteration, the root value is updated to {1}".format(i+1,x)returnxprint mysqrt(2,maxiter =4,prt_step =True)#After 1 iteration, the root value is updated to 1.5#After 2 iteration, the root value is updated to 1.41666666667#After 3 iteration, the root value is updated to 1.41421568627#After 4 iteration, the root value is updated to 1.41421356237#1.41421356237

通过绘图进一步了解这个方法，例如，我们要猜 f(x)=x2-2x-4=0 的解，从 x0=2 开始，找到 f(x) 在 x=x0 处的切线 y=2x-8，找到其与 y=0 的交点 (4,0)，将该交点作为新的猜测解 x1=4，如此循环。

importnumpy as npimportmatplotlib.pyplot as plt

f= lambda x: x**2-2*x-4l1= lambda x: 2*x-8l2= lambda x: 6*x-20x= np.linspace(0,5,100)

plt.plot(x,f(x),'black')

plt.plot(x[30:80],l1(x[30:80]),'blue', linestyle = '--')

plt.plot(x[66:],l2(x[66:]),'blue', linestyle = '--')

l= plt.axhline(y=0,xmin=0,xmax=1,color = 'black')

l= plt.axvline(x=2,ymin=2.0/18,ymax=6.0/18, linestyle = '--')

l= plt.axvline(x=4,ymin=6.0/18,ymax=10.0/18, linestyle = '--')

plt.text(1.9,0.5,r"$x_0$", fontsize = 18)

plt.text(3.9,-1.5,r"$x_1$", fontsize = 18)

plt.text(3.1,1.3,r"$x_2$", fontsize = 18)

plt.plot(2,0,marker = 'o', color = 'r')

plt.plot(2,-4,marker = 'o', color = 'r')

plt.plot(4,0,marker = 'o', color = 'r')

plt.plot(4,4,marker = 'o', color = 'r')

plt.plot(10.0/3,0,marker = 'o', color = 'r')

plt.show()

View Code

如下定义牛顿迭代法：

def NewTon(f, s = 1, maxiter = 100, prt_step =False):for i inrange(maxiter):#相较于f.evalf(subs={x:s}),subs()是更好的将值带入并计算的方法。

s = s - f.subs(x,s)/f.diff().subs(x,s)if prt_step ==True:print "After {0} iteration, the solution is updated to {1}".format(i+1,s)returnsfrom sympy.abc importx

f= x**2-2*x-4

print NewTon(f, s = 2, maxiter = 4, prt_step =True)#After 1 iteration, the solution is updated to 4#After 2 iteration, the solution is updated to 10/3#After 3 iteration, the solution is updated to 68/21#After 4 iteration, the solution is updated to 3194/987#3194/987

Sympy 可以帮助我们求解方程：

importsympyfrom sympy.abc importx

f= x**2-2*x-4

printsympy.solve(f,x)#result is：[1 + sqrt(5), -sqrt(5) + 1]

参考资料：

[1] https://ryancheunggit.gitbooks.io/calculus-with-python/content/