梯度,散度,拉普拉斯算子
综述
说到mesh上的处理技巧,拉普拉斯绝对是关键的一环,比如surface smoothing, parameterization and shape modeling等等都是十分重要的。
人们常说的是,拉普拉斯算子其实就是梯度的散度。
写在前面
首先给出:纯量(标量),矢量
- 标量(scalar),亦称“无向量”。有些物理量,只具有数值大小,而没有方向,部分有正负之分。物理学中,标量(或作纯量)指在坐标变换下保持不变的物理量。用通俗的说法,标量是只有大小,没有方向的量。
- 矢量(vector)是一种既有大小又有方向的量,又称为向量。 一般来说,在物理学中称作矢量,例如速度、加速度、力等等就是这样的量。
梯度
标量 -> 矢量
想象一座山,山的每一个点上都得到一个向量(事实上在三维中,你可以随意的定义方向向量),假设我们现在的向量指向每个点变化最陡的那个方向,而向量的大小(模)则代表了这个最陡的方向到底有多陡。梯度,众所周知,是一个向量。
散度
矢量 -> 标量
散度的作用对象是向量场,如果现在我们考虑任何一个点(或者说这个点的周围极小的一块区域),在这个点上,向量场的发散程度,如果是正的,代表这些向量场是往外散出的。如果是负的,代表这些向量场是往内集中的。
思考一个点电荷激发的电场,任意选取一个单位体积,若是单位体积不包含该电荷,那么毫无疑问,有多少电场线进入就有多少电场线出,散度为0.但若选取的单位体积内包含了一个正点电荷,则电场线只出不进,因而散度不为零。所以散度经常用来判断是否存在场源。
因此如果我们在mesh的梯度上计算散度得到的就是拉普拉斯算子。
直观地,我们其实无论使用重心法还是Local Voronoi Cell来作为一个patch去考察拉普拉斯行为,我们其实就是在mesh上划定了一个小的区域,考察这个区域中mesh上梯度的变化情况。
比如我们可以对于tri-mesh推导出在参数空间中 变量u下的cotangent拉普拉斯算子:
他其实就是刻画了,我们根据 x i x_i xi邻域建立的这个小蓝色区域的视角下,mesh的梯度的散度。
Ref
- https://www.zhihu.com/question/24074028
- https://blog.csdn.net/libing_zeng/article/details/78059002
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