文章目录

梯度（gradient）
- 什么是梯度
- 差分形式
散度（divergence）
拉普拉斯算子（Laplace Operator）
- 差分形式

梯度（gradient）

什么是梯度

开始这个话题之前，我想先引入梯度算子，写作▽\triangledown▽ 函数式写作 grad(x)grad(x)grad(x)，对于二维或者三维来说，就写作grad(x,y,z)grad(x, y, z)grad(x,y,z)。你在教科书上能见到它的解析式表达形式，如果对于三维空间来说，就写作

grad(x,y,z)=▽f=∂f∂xi+∂f∂yj+∂f∂zkgrad(x, y, z)=\triangledown f = \frac{\partial f}{\partial x} i + \frac{\partial f}{\partial y}j + \frac{\partial f}{\partial z}kgrad(x,y,z)=▽f=∂x∂fi+∂y∂fj+∂z∂fk

其中 iii jjj kkk表示在x, y, z轴上的向量分量，如果不太清楚这个表达形式的同学，可能需要翻看一下自己高中数学关于向量分量描述的相关章节了。

因为这个公式是个偏微分的表达形式，例如对于X轴上，用差分形式进行表达，就是这样的：

∂f∂x=f(x+Δxo,y,z)−f(x,y,z)Δxo\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{f(x + \Delta x_o, y, z) - f(x, y, z)}{ \Delta x_o}∂x∂f=Δxof(x+Δxo,y,z)−f(x,y,z)

因此，分别对于Y轴，Z轴来说，就分别是这样的：

∂f∂y=f(x,y+Δyo,z)−f(x,y,z)Δyo\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{f(x, y + \Delta y_o, z) - f(x, y, z)}{ \Delta y_o}∂y∂f=Δyof(x,y+Δyo,z)−f(x,y,z)

∂f∂z=f(x,y,z+Δzo)−f(x,y,z)Δzo\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{f(x, y, z + \Delta z_o) - f(x, y, z)}{ \Delta z_o}∂z∂f=Δzof(x,y,z+Δzo)−f(x,y,z)

差分形式

而对于计算机来说，通常我们令Δxo=Δyo=Δzo=1\Delta x_o = \Delta y_o = \Delta z_o = 1Δxo=Δyo=Δzo=1，然后常用的一种差分形式就可以表示如下：

∂f∂x≈f(x+1,y,z)−f(x,y,z)\frac{\partial f}{\partial x} \approx f(x +1, y, z) - f(x, y, z)∂x∂f≈f(x+1,y,z)−f(x,y,z)

∂f∂y≈f(x,y+1,z)−f(x,y,z)\frac{\partial f}{\partial y} \approx f(x, y +1, z) - f(x, y, z)∂y∂f≈f(x,y+1,z)−f(x,y,z)

∂f∂z≈f(x,y,z+1)−f(x,y,z)\frac{\partial f}{\partial z} \approx f(x, y, z +1) - f(x, y, z)∂z∂f≈f(x,y,z+1)−f(x,y,z)

所以你也看出来了，所谓的梯度，用大白话讲，就是对于某一点它分别在X轴上、Y轴上以及Z轴上的斜率。

散度（divergence）

你会发现它跟梯度算子很相似，写作▽⋅F⃗\triangledown \cdot \vec{F}▽⋅F 在很多书上它被简写成这样 ▽⋅F\triangledown \cdot F▽⋅F 区别在于多了一个点乘符号。

你或许会觉得梯度和散度长得很像，有区别吗？我个人理解其实区别并不大，因为散度的解析式也写成这样的形式：

div(F)=▽⋅F=∂Fx∂x+∂Fy∂y+∂Fz∂zdiv(F) = \triangledown \cdot F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}div(F)=▽⋅F=∂x∂Fx+∂y∂Fy+∂z∂Fz

形式上两者是很相似的，尽管梯度写作：

但可以把梯度里的 fff 和向量分量做一个映射，变成一个新的向量后，就可以得到这样一个表达式：

F⃗(x,y,z)=xi⃗+yj⃗+zk⃗\vec{F}(x,y,z)=x \vec i + y \vec j+z \vec kF(x,y,z)=xi+yj+zk

于是梯度就能转换为散度的表达形式：

▽⋅F⃗=∂Fi∂i+∂Fj∂j+∂Fk∂k\triangledown \cdot \vec F = \frac{\partial F_i}{\partial i} + \frac{\partial F_j}{\partial j} + \frac{\partial F_k}{\partial k}▽⋅F=∂i∂Fi+∂j∂Fj+∂k∂Fk

所以，实际上我们关心的其实只有梯度算子▽\triangledown▽。

要说这两者最大表示区别，我觉得是在于这两者观察角度的不同。举例来说，梯度是在给定欧式空间坐标后，研究在这空间里类似山脊一侧某一点的坡度的斜率。

而散度，则是在流场中的某一点，放置一个探测器，计算该点的速度、密度、热量的变化率。

如果观察坐标系，可以发现对于梯度来说，其坐标系在外，观察点位于坐标系中任意一个点上。而散度，它的坐标系通常表示为它自身，即以观察点为中心，建立XYZ坐标系。

也就是说，如果你把梯度的观察点设置为欧式空间坐标的原点，那么此刻的梯度和散度就是一回事了。

拉普拉斯算子（Laplace Operator）

在介绍完梯度和散度后，现在来介绍拉普拉斯算子：它写作 △\triangle△ 或者 ▽2\triangledown^2▽2 解析式写为：

▽2=∂2∂x2+∂2∂y2+∂2∂z2\triangledown^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}▽2=∂x2∂2+∂y2∂2+∂z2∂2

它表示梯度或者散度的变化率，即变化率的变化率。如果举一个经典的变化率的变化率，那无疑就是经典力学的加速度公式

vt=vo+atv_t = v_o + atvt=vo+at

使用拉普拉斯算子的重要物理意义，在于假设一个场分别在XYZ分量上的变化都是线性的，那么可以直接使用拉普拉斯算子，直接估测出距离测试点PoP_oPo (ΔX,ΔY,ΔZ)(\Delta X, \Delta Y, \Delta Z)(ΔX,ΔY,ΔZ)的某一点 PtP_tPt 上的物理值，例如速度、密度、热量等。估算方式可以简单到如同求解加速度一样。

那么它的差分形式的近似表达式又是什么呢，从1阶差分形式可以知道

▽f(x)=f(x+1)−f(x)\triangledown f(x) = f(x +1) - f(x)▽f(x)=f(x+1)−f(x)

那么它的二阶形式就表示为：

▽2f(X)=▽f(X+1)−▽f(X)\triangledown^2f(X) = \triangledown f(X+1) - \triangledown f(X)▽2f(X)=▽f(X+1)−▽f(X)

代入一阶差分，于是就可以得到

▽2f(x)=f(x+2)−2f(x+1)+f(x)\triangledown^2f(x) = f(x+2) - 2f(x+1) + f(x)▽2f(x)=f(x+2)−2f(x+1)+f(x)

差分形式

所以，对于拉普拉斯算子，它的向前差分形式的各ＸＹＺ上的差分计算方法即为：

∂2∂x2≈f(x+2,y,z)−2f(x+1,y,z)+f(x,y,z)\frac{\partial^2}{\partial x^2} \approx f(x+2, y, z) - 2f(x+1, y, z) + f(x, y, z)∂x2∂2≈f(x+2,y,z)−2f(x+1,y,z)+f(x,y,z)
∂2∂y2≈f(x,y+2,z)−2f(x,y+1,z)+f(x,y,z)\frac{\partial^2}{\partial y^2} \approx f(x, y+2, z) - 2f(x, y+1, z) + f(x, y, z)∂y2∂2≈f(x,y+2,z)−2f(x,y+1,z)+f(x,y,z)
∂2∂z2≈f(x,y,z+2)−2f(x,y,z+1)+f(x,y,z)\frac{\partial^2}{\partial z^2} \approx f(x, y, z+2) - 2f(x, y, z+1) + f(x, y, z)∂z2∂2≈f(x,y,z+2)−2f(x,y,z+1)+f(x,y,z)

当然，在弄懂这个原理后，你可以自行推导出它的向后差分形式，或者中央差分形式的表达式，这里只做一个引子。

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