647. 回文子串

题目

给定一个字符串，你的任务是计算这个字符串中有多少个回文子串。

具有不同开始位置或结束位置的子串，即使是由相同的字符组成，也会被视作不同的子串。

示例 1：

输入："abc"

输出：3

解释：三个回文子串: "a", "b", "c"

示例 2：

输入："aaa"

输出：6

解释：6个回文子串: "a", "a", "a", "aa", "aa", "aaa"

提示：

输入的字符串长度不会超过 1000 。

解题思路

思路：动态规划

先看题目，题目要求在给定的字符串中，求得字符串中有多少个回文子串。其中提及，不同开始或结束位置的子串，即便相同也视为不同子串。

其实看完题目，我们想到最直接的想法就是，先枚举字符的组合，判断这些字符组合成的子串是否是回文串即可。

现在我们来看看，用这种直接的方法代码实现：

class Solution:

def countSubstrings(self, s: str) -> int:

def is_palindrome(string):

"""判断传入字符串是否是回文串

"""

left = 0

right = len(string) - 1

while left < right:

if string[left] != string[right]:

return False

left += 1

right -= 1

return True

# 计数

count = 0

# 枚举字符组合

for i in range(len(s)):

for j in range(i, len(s)):

# 判断字符组合是否是回文串

# 若是计数 +1，否则跳过

sub_string = s[i:j+1]

if is_palindrome(sub_string):

count += 1

return count

上面的方法中，假设字符串长度为 n，我们枚举所有子串需要 $O(n^2)$ 的时间，而判断子串是否回文串需要 $O(S)$ 的时间，S 是子串的长度，所以整个算法的时间是 $O(n^3)$。

这里用 Python 执行结果超时，也侧面说明思路是可行的。这里执行超时的原因如上所述，是因为频繁对字符串切片以及判断子串是否是回文串。

下面我们看看使用动态规划的思路如何解决。

动态规划

假设，s[i...j](i...j 表示这个区间内的字符包含 i、j)是回文串。那么 s[i-1...j+1] 只有在 s[i-1] == s[j+1] 的情况下，才是回文串。

状态定义

现在设 dp[i][j] 表示 s[i...j] 是否是回文串。

状态转移方程

接下来，我们分析一下，子串是回文串成立的情况：

如果 i == j，那么表示是单字符，单字符也是回文串；

如果 s[i] == s[j] 且 i+1=j(或i=j-1)，那么这里表示两个字符且相同，那么同样是回文串；

如果 dp[i+1][j-1] == True，也就是 s[i+1...j-1] 是回文串时，若 s[i]==s[j]，此时 dp[i][j] 同样也是回文串。

我们可以看到，第二、三种情况是可以合并在一起的。

当 s[i]==s[j]，只要 i==j-1 或者 dp[i+1][j-1]==True 其中一个成立，dp[i][j] 都为 True，s[i...j] 是回文串。公式如下：

$dp[i][j] = True, \qquad if , (s[i] == s[j]) , and , (i==j-1 , or , dp[i+1][j-1])$

再看第一种情况，我们发现，其实 i==j 时，s[i] == s[j] 也是成立的，只是此时 i=j-0，。

那么这里再将第一种情况跟上面合并，也就是 i >= j - 1 或者 i - j >= -1 时，公式如下：

$dp[i][j] = True, \qquad if , (s[i] == s[j]) , and , (i-j>=-1 , or , dp[i+1][j-1])$

复杂度分析：

时间复杂度： $O(n^2)$

空间复杂度： $O(n^2)$， dp 数组的开销。

还有 中心扩散法，这个方法能够将空间复杂度降低为常数时间复杂度 $O(1)$。这里在官方题解有给出详细内容，有兴趣的可以从下面链接入口进入了解。

具体的代码实现如下。

代码实现

class Solution:

def countSubstrings(self, s: str) -> int:

# 计数

count = 0

n = len(s)

# 定义 dp 数组，初始化为 False

dp = [[False] * n for _ in range(n)]

# 我们从右往左遍历，填充 dp 数组

for i in range(n-1, -1, -1):

for j in range(i, n):

# 根据文章得出的状态转移方程

if s[i]==s[j] and (i-j>=-1 or dp[i+1][j-1]):

dp[i][j] = True

count += 1

return count

实现结果

欢迎关注

公众号 【书所集录】