加权图

在了解狄克斯特拉算法之前，先介绍一下加权图。

如图，假设你要从起点出发到达终点，如果只考虑换乘少，即最短路径。那么可以使用广度优先搜索算法，该算法我之前简单的写过，链接点这里。但是，现在你要找出最快的路径，为此，可使用狄克斯特拉算法。

图中，每个数字表示的是时间，单位分钟。这些数字成为权重（weight)，带权重的图成为加权图 (weight graph)，不带权重的图称为非加权图（unweight graph)。

原理以及使用狄克斯特拉算法

狄克斯特拉算法包含4个步骤：

找出“最便宜”的节点，即可在最短时间内到达的节点；
更新该节点的邻居的开销。即对于该节点的邻居，检查是否有前往它们的更短路径，如果有，就更新其开销；
重复这个过程，直到对图中的每个节点都这样做了；
计算最终路径。

第一步：找出最便宜的节点。你站在起点，不知道前往节点A还是节点B。去A点需要6分钟，去B点需要2分钟。至于前往其他节点，你还不知道需要多长时间。所以你找出的最便宜的点是节点B。

节点	耗时
A	6
B	2
终点	infinity

由于你还不知道前往终点需要多长时间，因此假设为无穷大。

第二步：计算经节点B前往其各个邻居所需的时间

节点	耗时
A	5
B	2
终点	7

你找到了一条前往节点A的更短路径！直接前往A点需要6分钟，但经由节点B前往节点A只需要5分钟！那么对于节点B的邻居，你找到了前往它的更短路径，就更新其开销，对于节点B的邻居：节点A以及终点。

前往节点A的更短路径（时间由6分钟缩短为5分钟）
前往终点的更短路径（时间由无穷大缩短为7分钟）

第三步：重复！

重复第一步：找出可在最短时间内前往的节点。你对节点B执行了第二步，除节点B外，可在最短时间内前往的节点是节点A。

重复第二步：更新节点A的所有邻居的开销。

节点	耗时
A	5
B	2
终点	6

你发现前往终点的时间为6分钟！

你对每个节点都运行了狄克斯特拉算法（无需对终点这样做）。现在，你知道：

前往节点B需要2分钟
前往节点A需要5分钟
前往终点需要6分钟

注意：狄克斯特拉算法只适用于有向无环图。而且如有负权边，也不能使用狄克斯特拉算法，这是可以使用贝尔曼-福德算法

算法实现(python)

以上图为例。

准备工作

要编写解决这个问题的代码，需要三个散列表。了解散列表点这里。

一个描述路线图的散列表、一个记录开销的散列表、一个记录父节点的散列表。

父节点：你可以这么理解，从起点到节点A，那么起点就是节点A的父节点。之所以要有这么个散列表，是因为选择的路径不同，到达的节点的父节点就不同。例如，

路线	耗时	节点A的父节点
起点-->节点A	6	起点
起点-->节点B-->节点A	5	节点B

在节点开销更新时，父节点也要更新。

路线描述散列图

# 路线描述 散列表
graph = dict()
# 起点
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2
# 节点a
graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1
# 节点b
graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5
# 终点
graph["fin"] = {}

要想获得起点的所有邻居，可想下面这样做

>>>print (graph["start"].keys())
# 结果为：
['b','a']

有一条从起点到A的边，还有一条从起点到B的边。要获取这些变得权重的语法为：

>>>print (graph["start"]["a"])
# 输出为
6>>>print (graph["start"]["b"])
# 输出为
2

开销记录散列表

# 开销 散列表
infinity = float("inf")
costs = dict()
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity

父节点记录散列表

# 父节点 散列表
parents = dict()
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = "None"

此外，你还需要一个数组，用于记录处理过的节点，因为对于同一个节点，你不用处理多次。

processed = []     # 用于记录处理过的节点

准备工作做好了，下面来看看具体算法。

node = find_lowest_cost_node(costs)  # 未处理的节点中找出开销最小的节点
while node is not None:              # while循环在所有节点都被处理过后结束cost = costs[node]neighbors = graph[node]for n in neighbors.keys():          # 遍历当前节点的所有邻居new_cost = cost + neighbors[n] if new_cost < costs[n]:         # 如果当前节点前往该邻居更近costs[n] = new_cost         # 更新该邻居的开销parents[n] = node           # 同时将该邻居的父节点设置为当前节点processed.append(node)              # 将当前节点标记为已处理过node = find_lowest_cost_node(costs) # 找出接下来要处理的节点，并循环# 函数find_lowest_cost_node(costs)的定义
def find_lowest_cost_node(costs):# 每次都初始化lowest_cost = float("inf")lowest_cost_node = Nonefor node in costs:         # 遍历所有节点cost = costs[node]if cost < lowest_cost and node not in processed:  #如果当前节点开销更小且未处理过lowest_cost = cost   lowest_cost_node = node   # 就将其是为开销最低的节点return lowest_cost_node

结果与分析的一致

小结

广度优先搜索用于在非加权图中查找最短路径
狄克斯特拉算法用于在加权图中查找最短路径
仅当权重为正时狄克斯特拉算法才管用
如果图中包含负权边，狄克斯特拉算法无效，请使用贝尔曼-福德算法

完整代码如下：

# # 路线描述 散列表
graph = dict()
# 起点
graph["start"] = {}
graph["start"]["a"] = 6
graph["start"]["b"] = 2
# 节点a
graph["a"] = {}
graph["a"]["fin"] = 1
# 节点b
graph["b"] = {}
graph["b"]["a"] = 3
graph["b"]["fin"] = 5
# 终点
graph["fin"] = {}# 开销 散列表
infinity = float("inf")
costs = dict()
costs["a"] = 6
costs["b"] = 2
costs["fin"] = infinity# 父节点 散列表
parents = dict()
parents["a"] = "start"
parents["b"] = "start"
parents["fin"] = "None"processed = []     # 用于记录处理过的节点def find_lowest_cost_node(costs):# 初始化lowest_cost = float("inf")lowest_cost_node = Nonefor node in costs:         # 遍历所有节点cost = costs[node]if cost < lowest_cost and node not in processed:  #如果当前节点开销更小且未处理过lowest_cost = costlowest_cost_node = node   # 就将其是为开销最低的节点return lowest_cost_nodenode = find_lowest_cost_node(costs)  # 未处理的节点中找出开销最小的节点
while node is not None:              # while循环在所有节点都被处理过后结束cost = costs[node]neighbors = graph[node]for n in neighbors.keys():          # 遍历当前节点的所有邻居new_cost = cost + neighbors[n]if new_cost < costs[n]:         # 如果当前节点前往该邻居更近costs[n] = new_cost         # 更新该邻居的开销parents[n] = node           # 同时将该邻居的父节点设置为当前节点processed.append(node)              # 将当前节点标记为已处理过node = find_lowest_cost_node(costs) # 找出接下来要处理的节点，并循环

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