向量场的散度和旋度_矢量场,标量场,散度,梯度,旋度的理解
1.
梯度
gradient
设体系中某处的物理参数
(
如温度、速度、浓度等
)
为
w
，在与其垂直距离的
dy
处该参数
为
w+dw
，则称为该物理参数的梯度，也即该物理参数的变化率。如果参数为速度、浓度或
温度，则分别称为速度梯度、浓度梯度或温度梯度。
在向量微积分中，
标量场的梯度是一个向量场。
标量场中某一点上的梯度指向标量场增长
最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。更严格的说，从欧氏空间
Rn
到
R
的函数的
梯度是在
Rn
某一点最佳的线性近似。在这个意义上，梯度是雅戈比矩阵的一个特殊情况。
在单变量的实值函数的情况，
梯度只是导数，
或者，
对于一个线性函数，
也就是线的斜率。
梯度一词有时用于斜度，
也就是一个曲面沿着给定方向的倾斜程度。
可以通过取向量梯度
和所研究的方向的点积来得到斜度。梯度的数值有时也被成为梯度。
在二元函数的情形，设函数
z=f(x,y)
在平面区域
D
内具有一阶连续偏导数，则对于每一点
P(x,y)
∈
D
，都可以定出一个向量
(δf/x)*i+(δf/y)*j
这向量称为函数
z=f(x,y)
在点
P(x,y)
的梯度，记作
gradf(x,y)
类似的对三元函数也可以定义一个：
(
δ
f/x)*i+(
δ
f/y)*j+(
δ
f/z)*k
记为
grad[f(x,y,z)]
2.
散度
气象学中指：
散度指流体运动时单位体积的改变率。
简单地说，
流体在运动中集中的区域为辐合，
运动
中发散的区域为辐散。
用以表示的量称为散度，
值为负时为辐合，
此时有利于天气系统的的
发展和增强，为正时表示辐散，有利于天气系统的消散。表示辐合、辐散的物理量为散度。
微积分学→多元微积分→多元函数积分中：
设某量场由
A(x,y,z) = P(x,y,z)i + Q(x.y,z)j + R(x,y,z)k
给出，
其中
P
、
Q
、
R
具有一阶连续
偏导数，
∑
是场内一有向曲面，
n
是
∑
在点
(x,y,z)
处的单位法向量，
则
∫∫
A
·
ndS
叫
做向量场
A
通过曲面
∑
向着指定侧的通量，而
δ
P/
δ
x +
δ
Q/
δ
y +
δ
R/
δ
z
叫做向量
场
A
的散度，记作
div A
，即
div A =
δ
P/
δ
x +
δ
Q/
δ
y +
δ
R/
δ
z
。
上述式子中的
δ
为偏微分(
partial derivative
)符号。
3
旋度
表示曲线、流体等旋转程度的量
4.
矢量和标量场
假设有一个三维空间，显然空间的每一个点都能用坐标(
x, y, z
)唯一地标识出来。假如给
空间的每一个点都赋予一个数字，
那么整个空间就充满了数字。
此时，
这个充满数字的三维
空间在数学上就叫做“场”
。
上述的场叫做标量场，因为单纯的一个数字叫做“标量
(scalar)
”
。如果我们给空间的每一个
点都赋予一个矢量
(vector)
，即一个既有大小，又有方向的东西，那么整个空间就变成充满
了矢量，这个空间就叫做矢量场。
矢量场中的每一点都对应于一个矢量，
而矢量能够根据规则进行各种运算，
例如加、
减和乘
等(数学上没有矢量的除法)
。
显然，
我们可以对整个矢量场中的每一个矢量同时进行某种运算，
例如同时将它们乘以一个
数，
或加上一个数等。
但是我们可以对整个矢量场进行一些更复杂的运算，
其中散度就是其
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