杜教筛【莫比乌斯前缀和，欧拉函数前缀和】推导与模板【一千五百字】

下图给出杜教筛详细推导过程，前置知识有积性函数和莫比乌斯反演。

杜教筛是一种优秀的求积性函数前缀和算法，其时间复杂度受预处理数组的影响，一般开到2/3次幂大小，可使复杂度达到较为优秀的程度。

杜教筛的时间复杂度还要取决于预处理数组的大小，将预处理前缀和数组处理到n^(2/3)大小会使杜教筛时间复杂度缩短至 O(n^(2/3)) ，否则会超时

【模板】杜教筛（Sum） - 洛谷

# include<iostream>
# include<map>
# include<unordered_map>
# include<math.h>
using namespace std;
typedef long long int ll;unordered_map<int,int>m;const int N=1664503;int tot;
int prime[N+10];
ll mu[N+10];
bool not_prime[N+10];
ll phi[N+10];
unordered_map<ll,ll>sum_mu;
unordered_map<ll,ll>sum_phi;inline void init(int n)
{mu[1]=1;phi[1]=1;for(ll i=2; i<=n; i++){if(!not_prime[i]){tot++;prime[tot]=i;phi[i]=i-1;mu[i]=-1;}for(ll j=1; j<=tot&&i*prime[j]<=N; j++){not_prime[i*prime[j]]=1;if(i%prime[j]==0){mu[i*prime[j]]=0;phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break;}mu[i*prime[j]]=-mu[i];phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);}}for(int i=1;i<=n;i++){mu[i]+=mu[i-1];phi[i]+=phi[i-1];}
}inline int  g_sum(int  x)
{return x;}inline int   getsum_mu(int  x)
{if(x<=N)return mu[x];if(sum_mu[x])return sum_mu[x];ll ans=1;for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1){r=x/(x/l);ans-=(g_sum(r)-g_sum(l-1))*getsum_mu(x/l);}return sum_mu[x]=ans/g_sum(1ll);}
inline ll getsum_phi(ll  x)
{if(x<=N)return phi[x];if(sum_phi[x])return sum_phi[x];ll ans=(ll)x*(ll)(x+1)/2;for(ll l=2,r;l<=x;l=r+1){r=x/(x/l);ans-=(g_sum(r)-g_sum(l-1))*getsum_phi(x/l);}return sum_phi[x]=ans/g_sum(1ll);
}
int main ()
{init(N);int t;cin>>t;while(t--){ll n;cin>>n;cout<<getsum_phi(n)<<" "<<getsum_mu(n)<<'\n';}return 0;}

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