Loj #572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和（莫比乌斯反演 + 杜教筛 + min

直接反演一下：∑i=1n∑i=1nf(gcd(i,j))k\sum_{i = 1}^n\sum_{i = 1}^nf(gcd(i,j))^ki=1∑ni=1∑nf(gcd(i,j))k=∑d=1n∑i=1⌊nd⌋∑i=1⌊nd⌋f(d)k∗[gcd(i,j)=1]=\sum_{d = 1}^n\sum_{i = 1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\sum_{i = 1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(d)^k * [gcd(i,j) = 1]=d=1∑ni=1∑⌊dn⌋i=1∑⌊dn⌋f(d)k∗[gcd(i,j)=1]=∑d=1nf(d)k∑p=1⌊nd⌋μ(p)∗⌊np∗d⌋2=\sum_{d = 1}^nf(d)^k\sum_{p = 1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}\mu(p)*{\lfloor\frac{n}{p*d}\rfloor}^2=d=1∑nf(d)kp=1∑⌊dn⌋μ(p)∗⌊p∗dn⌋2=∑T=1n⌊nT⌋2∑d∣Tf(d)kμ(Td)=\sum_{T = 1}^n{\lfloor\frac{n}{T}\rfloor}^2\sum_{d | T}f(d)^k\mu(\frac{T}{d})=T=1∑n⌊Tn⌋2d∣T∑f(d)kμ(dT)这个式子可以分块，需要预处理右半边前缀和。
令g(T)=∑d∣Tf(d)kμ(Td)g(T) = \sum_{d | T}f(d)^k\mu(\frac{T}{d})g(T)=∑d∣Tf(d)kμ(dT)，则g(T)=fk∗μg(T) = f^k * \mug(T)=fk∗μ，∗*∗代表卷积
按杜教筛的套路，将ggg函数卷上 III 函数进行求和，令 h=g∗I=fkh = g * I =f^kh=g∗I=fk
∑i=1nh(i)\sum_{i = 1}^nh(i) i=1∑nh(i)=∑i=1n∑d∣iI(d)∗g(id)= \sum_{i = 1}^n\sum_{d | i}I(d) * g(\frac{i}{d})=i=1∑nd∣i∑I(d)∗g(di)=∑d=1nI(d)∑i=1⌊nd⌋g(i)=\sum_{d = 1}^nI(d)\sum_{i = 1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}g(i)=d=1∑nI(d)i=1∑⌊dn⌋g(i)=∑d=1nI(d)S(⌊nd⌋)=∑d=1nS(⌊nd⌋)=\sum_{d = 1}^nI(d)S({\lfloor\frac{n}{d}\rfloor})=\sum_{d = 1}^nS({\lfloor\frac{n}{d}\rfloor})=d=1∑nI(d)S(⌊dn⌋)=d=1∑nS(⌊dn⌋)提出第一项 I(1)S(n)=S(n)I(1)S(n) = S(n)I(1)S(n)=S(n) 并移项：S(n)=∑i=1nh(i)−∑i=2nS(⌊ni⌋)S(n) = \sum_{i = 1}^nh(i) - \sum_{i = 2}^nS(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)S(n)=i=1∑nh(i)−i=2∑nS(⌊in⌋)S(n)=∑i=1nf(i)k−∑i=2nS(⌊ni⌋)S(n) = \sum_{i = 1}^nf(i)^k - \sum_{i = 2}^nS(\lfloor\frac{n}{i}\rfloor)S(n)=i=1∑nf(i)k−i=2∑nS(⌊in⌋)f(i)kf(i)^kf(i)k可以用min_25筛筛出来，筛法和Uoj 188相同，但是这题f(i)f(i)f(i)质数部分贡献不为0，先筛出合数部分再加上质数部分即可。由于递归版没有记忆化，杜教筛里每次都要计算会T，因此需要用递推版，并且由于模数是 2322^{32}232，可以用 unsigned int 类型自然溢出来取代取模运算减少常数。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 2e5 + 10;
const ll mod = 1ll << 32;
bool ispri[maxn];
ll pri[maxn], num, tot;
ll pw[maxn];
ll g[maxn], id1[maxn], id2[maxn], w[maxn], sqr;
ll sum[maxn];
ll n, k;
ll mp[maxn];
ll fpow(ll a, ll b) {ll r = 1;while (b) {if (b & 1)r = r * a % mod;a = a * a % mod;b >>= 1;}return r;
}
void sieve(int n) {ispri[0] = ispri[1] = true;num = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {if (!ispri[i])pri[++num] = i;for (int j = 1; j <= num && i * pri[j] <= n; j++) {ispri[i * pri[j]] = true;if (i % pri[j] == 0)break;}}
}
/*ll S(ll x, ll y) {            //递归版，T飞if (pri[y] > x)return 0;ll z = x <= sqr ? id1[x] : id2[n / x];ll res = 0;for (ll i = y + 1; i <= num && pri[i] * pri[i] <= x; i++) {for (ll e = 1, pe = pri[i]; pe * pri[i] <= x; e++, pe *= pri[i]) {ll t = x / pe;ll k = t <= sqr ? id1[t] : id2[n / t];res += (S(t, i) + (g[k] - i + 1) % mod * pw[i] % mod) % mod;res %= mod;}}return res;
}*/
ll getsum(ll x) {                       //杜教筛ll t = x <= sqr ? id1[x] : id2[n / x];if (mp[t] != -1)return mp[t];ll res = (sum[t] + g[t]) % mod;for (ll i = 2, j; i <= x; i = j + 1) {j = x / (x / i);res -= getsum(x / i) * (j - i + 1) % mod;if (res < 0)res += mod;}return mp[t] = res;
}
int main() {sieve(maxn - 10);scanf("%lld%lld", &n, &k);memset(mp, -1, sizeof mp);for (int i = 1; i <= num; i++) {pw[i] = fpow(pri[i], k);}sqr = sqrt(n);for (ll i = 1, j; i <= n; i = j + 1) {        //min_25筛离散化j = n / (n / i);w[++tot] = n / i;g[tot] = (w[tot] - 1) % mod;if (n / i <= sqr)id1[n / i] = tot;elseid2[j] = tot;}for (int i = 1; i <= num; i++) {         //min_25筛预处理 gfor (int j = 1; j <= tot && pri[i] * pri[i] <= w[j]; j++) {ll t = w[j] / pri[i];ll k = t <= sqr ? id1[t] : id2[n / t];g[j] -= (g[k] - i + 1) % mod;if (g[j] < 0)g[j] += mod;}}for (int i = num; i >= 1; i--) {           //min_25筛 递推版for (int j = 1; j <= tot && pri[i] * pri[i] <= w[j]; j++) {for (ll e = 1, pe = pri[i]; pe * pri[i] <= w[j]; pe = pe * pri[i]) {ll t = w[j] / pe;ll k = t <= sqr ? id1[t] : id2[n / t];sum[j] += (sum[k] + (g[k] - i + 1) % mod * pw[i] % mod) % mod;sum[j] %= mod;}}}ll ans = 0;for (ll i = 1, j; i <= n; i = j + 1) {j = n / (n / i);ll p = n / i % mod;ans += (getsum(j) - getsum(i - 1) + mod) % mod * p * p % mod;ans %= mod;}printf("%lld\n", ans);return 0;
}

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