[51NOD1847]奇怪的数学题（杜教筛+min_25筛+第二类斯特林数）

f(x)f(x)f(x)表示xxx的次大约数，有f(x)=xx的最小质因数f(x)=\frac{x}{x的最小质因数}f(x)=x的最小质因数x，那么

∑i=1n∑j=1nsgcd(i,j)k=∑i=1n∑j=1nf(gcd(i,j))k=∑d=1nf(d)k∑i=1n∑j=1n[gcd(i,j)=d]=∑d=1nf(d)k∑i=1⌊nd⌋∑j=1⌊nd⌋[gcd(i,j)=1]=∑d=1nf(d)k⋅(2∑i=1⌊nd⌋φ(i)−1)\begin{aligned} \sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}sgcd(i,j)^k&=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^{n}f(gcd(i,j))^k\\ &=\sum\limits_{d=1}^{n}f(d)^k\sum\limits_{i=1}^{n}\sum\limits_{j=1}^{n}[gcd(i,j)=d]\\ &=\sum\limits_{d=1}^{n}f(d)^k\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\sum\limits_{j=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}[gcd(i,j)=1]\\ &=\sum\limits_{d=1}^{n}f(d)^k\cdot(2\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\varphi(i)-1) \end{aligned}i=1∑nj=1∑nsgcd(i,j)k=i=1∑nj=1∑nf(gcd(i,j))k=d=1∑nf(d)ki=1∑nj=1∑n[gcd(i,j)=d]=d=1∑nf(d)ki=1∑⌊dn⌋j=1∑⌊dn⌋[gcd(i,j)=1]=d=1∑nf(d)k⋅(2i=1∑⌊dn⌋φ(i)−1)
（倒数第二步到最后一步是直接由ϕϕϕ的定义得到的）

2∑i=1⌊nd⌋φ(i)−12\sum\limits_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor}\varphi(i)-12i=1∑⌊dn⌋φ(i)−1是经典的杜教筛求欧拉函数前缀和，
然后因为iii的上界是⌊nd⌋\lfloor\frac{n}{d}\rfloor⌊dn⌋所以求出前缀和以后分块搞一波就好了

∑d=1nf(d)k\sum\limits_{d=1}^{n}f(d)^kd=1∑nf(d)k的求法则非常神仙（%%%网上的大佬）：

∑d=1nf(d)k\sum\limits_{d=1}^{n}f(d)^kd=1∑nf(d)k
=∑d=2nf(d)k[d是质数]+∑d=2nf(d)k[d是合数]+f(1)k=\sum\limits_{d=2}^{n}f(d)^k[d是质数]+\sum\limits_{d=2}^{n}f(d)^k[d是合数]+f(1)^k=d=2∑nf(d)k[d是质数]+d=2∑nf(d)k[d是合数]+f(1)k
=∑d=2n[d是质数]+∑d=2n(dd的最小质因数)k[d是合数]=\sum\limits_{d=2}^{n}[d是质数]+\sum\limits_{d=2}^{n}(\frac{d}{d的最小质因数})^k[d是合数]=d=2∑n[d是质数]+d=2∑n(d的最小质因数d)k[d是合数]

∑d=2n[d是质数]\sum\limits_{d=2}^{n}[d是质数]d=2∑n[d是质数]即为nnn以内质数个数，可以用min_25筛出来，接下来只需考虑ddd是合数的部分

回忆min_25筛，
设g(n,j)=∑i=1nik[i∈Pori的最小质因数>Pj]g(n,j)=\sum_{i=1}^ni^k[i\in P\ \ or \ \ i的最小质因数>P_j ]g(n,j)=∑i=1nik[i∈P or i的最小质因数>Pj]，则
当Pj2≤nP_j^2\leq nPj2≤n时，
g(n,j)=g(n,j−1)−∑[i的最小质因数=Pj]ikg(n,j)=g(n,j-1)-\sum[i的最小质因数=P_j]i^kg(n,j)=g(n,j−1)−∑[i的最小质因数=Pj]ik
=g(n,j−1)−Pjk∑[i的最小质因数=Pj](iPj)k=g(n,j-1)-P_j^k\sum[i的最小质因数=P_j](\frac{i}{P_j})^k=g(n,j−1)−Pjk∑[i的最小质因数=Pj](Pji)k
=g(n,j−1)−Pjk∑l=Pj⌊nPj⌋[l的最小质因数>Pj−1]lk=g(n,j-1)-P_j^k\sum_{l=P_j}^{\lfloor\frac{n}{P_j}\rfloor}[l的最小质因数>P_{j-1}]l^k=g(n,j−1)−Pjk∑l=Pj⌊Pjn⌋[l的最小质因数>Pj−1]lk
=g(n,j−1)−Pjk[g(⌊nPj⌋,j−1)−g(Pj−1,j−1)]=g(n,j-1)-P_j^k[g(\lfloor\frac{n}{P_j}\rfloor,j-1)-g(P_j-1,j-1)]=g(n,j−1)−Pjk[g(⌊Pjn⌋,j−1)−g(Pj−1,j−1)]

我们发现g(⌊nPj⌋,j−1)−g(Pj−1,j−1)g(\lfloor\frac{n}{P_j}\rfloor,j-1)-g(P_j-1,j-1)g(⌊Pjn⌋,j−1)−g(Pj−1,j−1)
即为∑i=1n[i的最小质因数=Pj](iPj)k\sum_{i=1}^{n}[i的最小质因数=P_j](\frac{i}{P_j})^k∑i=1n[i的最小质因数=Pj](Pji)k
所以∑j=1∣P∣g(⌊nPj⌋,j−1)−g(Pj−1,j−1)\sum_{j=1}^{|P|}g(\lfloor\frac{n}{P_j}\rfloor,j-1)-g(P_j-1,j-1)∑j=1∣P∣g(⌊Pjn⌋,j−1)−g(Pj−1,j−1)
=∑j=1∣P∣∑i=1n[i的最小质因数=Pj](iPj)k=\sum_{j=1}^{|P|}\sum_{i=1}^{n}[i的最小质因数=P_j](\frac{i}{P_j})^k=∑j=1∣P∣∑i=1n[i的最小质因数=Pj](Pji)k
=∑i=2n(ii的最小质因数)k=\sum_{i=2}^{n}(\frac{i}{i的最小质因数})^k=∑i=2n(i的最小质因数i)k

最后，算g(n,0)g(n,0)g(n,0)要快速求∑i=1nik\sum_{i=1}^{n}i^k∑i=1nik，这里要用第二类斯特林数处理一下：
∑i=1nik\sum_{i=1}^{n}i^k∑i=1nik
=∑i=1n∑j=1k{jk}ij‾=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{k}\{_j^k\}i^{\underline{j}}=∑i=1n∑j=1k{jk}ij
=∑j=1k{jk}∑i=1nij‾=\sum_{j=1}^{k}\{_j^k\}\sum_{i=1}^{n}i^{\underline j}=∑j=1k{jk}∑i=1nij
=∑j=1k{jk}(n+1)j+1‾j+1=\sum_{j=1}^{k}\{_j^k\}\frac{(n+1)^{\underline{j+1}}}{j+1}=∑j=1k{jk}j+1(n+1)j+1

实现细节：
1、取模的话可以自然溢出，unsignedintunsigned\ intunsigned int了解一下ovo

2、求下降阶乘幂的时候，因为这题的模数不是质数，所以不能快乐求逆元，但是因为kkk比较小所以直接暴力一波，一个一个数乘，这堆数中必定有一个是j+1j+1j+1的倍数，所以可以直接先除再乘就好了，注意判断的时候每次都取模判断的话会愉快T掉，所以应该在一开始的时候先把余数算出来，然后根据余数的加法定理直接判就好了

参考博客：https://www.cnblogs.com/yoyoball/p/9204846.html

[51NOD1847]奇怪的数学题（杜教筛+min_25筛+第二类斯特林数）相关推荐

1847 奇怪的数学题（杜教筛 + Min_25 + 第二类斯特林数）
1847 奇怪的数学题推式子 ∑i=1n∑j=1nsgcd(i,j)k∑d=1nsgcd(d)k∑i=1nd∑j=1nd[gcd(i,j)=1]∑d=1nsgcd(d)k(2∑i=1ndϕ(i)−1 ...
[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛
[复习]莫比乌斯反演,杜教筛,min_25筛莫比乌斯反演做题的时候的常用形式: \[\begin{aligned}g(n)&=\sum_{n|d}f(d)\\f(n)&=\sum_ ...
【LOJ#572】Misaka Network 与求和（莫比乌斯反演/杜教筛/min_25筛）
[LOJ#572]Misaka Network 与求和 https://www.cnblogs.com/cjyyb/p/10170630.html 看到次大质因子就可以想到是min_25筛了,然后只需 ...
Loj #572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和（莫比乌斯反演 + 杜教筛 + min_25筛（递推版））
直接反演一下:∑i=1n∑i=1nf(gcd(i,j))k\sum_{i = 1}^n\sum_{i = 1}^nf(gcd(i,j))^ki=1∑ni=1∑nf(gcd(i,j))k=∑d=1n ...
51nod 1847 奇怪的数学题（数论/min25筛/杜教筛/斯特林数）
51nod 1847 奇怪的数学题求解∑i=1n∑j=1nsgcd(i,j),sgcd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^nsgcd(i,j),sgcd∑i=1n∑j=1nsgcd(i ...
洲阁筛/Min25筛
1:完整的Min25筛学习方案 2:虽然不是但我也挂 3:网上捞了好久才捞到的纯递推写法Min25筛终于看懂了..... 就是充分利用合数一定有小于等于n\sqrt nn的质因子和积性函数的性质来 ...
「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和（杜教筛 + Min_25）
#572. 「LibreOJ Round #11」Misaka Network 与求和推式子 ∑i=1n∑j=1nf(gcd(i,j))k∑d=1nf(d)k∑i=1nd∑j=1nd[gcd(i,j ...
HDU 6607 Easy Math Problem（杜教筛 + min_25 + 拉格朗日插值）
Easy Math Problem 推式子 ∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)Klcm(i,j)[gcd(i,j)∈prime]∑i=1n∑j=1ngcd(i,j)K−1ij[gcd(i,j)∈pr ...
#6229. 这是一道简单的数学题（反演 + 杜教筛）
#6229. 这是一道简单的数学题推式子 ∑i=1n∑j=1ilcm(i,j)gcd(i,j)=(∑i=1n∑j=1nlcm(i,j)gcd(i,j)+n)∗inv2所以重点求∑i=1n∑j=1nl ...

[51NOD1847]奇怪的数学题（杜教筛+min_25筛+第二类斯特林数）

[51NOD1847]奇怪的数学题（杜教筛+min_25筛+第二类斯特林数）相关推荐

最新文章

热门文章