一、不规则多边形重心求解

1.1 三角形重心计算方法

设三角形的三个顶点位置为A(x1,y1)A(x_1,y_1)A(x1,y1),B(x2,y2)B(x_2,y_2)B(x2,y2),C(x3,y3)C(x_3,y_3)C(x3,y3)，那么△ABC△ABC△ABC的重心GGG坐标为

x=x1+x2+x33,y=y1+y2+y33x=\frac{x_1+x_2+x_3}{3}, y=\frac{y_1+y_2+y_3}{3} x=3x1+x2+x3,y=3y1+y2+y3

1.2 三角形面积计算方法

计算三角形的面积使用向量积的方式，下图中，假设P点为原点，A(x1,y1)A(x_1,y_1)A(x1,y1)，B(x2,y2)B(x_2,y_2)B(x2,y2)。

以AAA，BBB和坐标原点PPP构成的△ABC△ABC△ABC的面积为
S=PB⃗×PA⃗2=x2y1−x1y22S=\frac{\vec{PB}\times \vec{PA}}{2}=\frac{x_2y_1-x_1y_2}{2} S=2PB×PA=2x2y1−x1y2

1.3 多边形面积的计算方法

对于多边形的情况，我们可以将多边形切分为多个三角形，分别进行求解。那么这个剖分点$ P$ 我们可以设在哪里呢？这里先给出结论：这个剖分点可以设置在多边形的内部，也可以设置到外部。

为什么这个剖分点可以设置到外部呢？我们可以通过简单的三角形情况来推广到多边形的情况。对于△ABC△ABC△ABC，我们把剖分点设置在其外部$ P$ 的一点上，

△ABC△ABC△ABC的面积SSS为
S=12(PB⃗×PC⃗+PC⃗×PA⃗+PA⃗×PB⃗)S=\frac{1}{2}(\vec{PB}\times \vec{PC}+\vec{PC}\times \vec{PA}+\vec{PA}\times \vec{PB}) S=21(PB×PC+PC×PA+PA×PB)
设P(x0,y0),P(x_0,y_0),P(x0,y0),A(x1,y1)A(x_1,y_1)A(x1,y1),B(x2,y2)B(x_2,y_2)B(x2,y2),C(x3,y3)C(x_3,y_3)C(x3,y3)

△ABC△ABC△ABC的面积SSS可以写为
S=12(x1y2−x2y1+x2y3−x3y2+x3y1−x1y3)S=\frac{1}{2}\left ( x_1y_2-x_2y_1+x_2y_3-x_3y_2+x_3y_1-x_1y_3\right ) S=21(x1y2−x2y1+x2y3−x3y2+x3y1−x1y3)

这时可以发现跟外部点PPP没有关系，只跟顶点的坐标有关系。

1.4 不规则多边形的重心计算方法

不规则图形一般没有中心点这个概念，所以只能使用重心来代替中心点，这里先给出一个公式：

平面多边形XXX可以被剖分为nnn个有限的简单图形X1,X2,…,XnX_1,X_2,…,X_nX1,X2,…,Xn，这些简单图形的重心点为GiG_iGi，面积为SiS_iSi，那么这个平面多边形的重心点坐标G(x,y)G(x,y)G(x,y)为
x=∑ni=1GixSi∑i=1nSi,y=∑ni=1GiySi∑i=1nSix=\frac{\sum_{n}^{i=1}G_{ix}S_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i},y=\frac{\sum_{n}^{i=1}G_{iy}S_i}{\sum_{i=1}^{n} S_i} x=∑i=1nSi∑ni=1GixSi,y=∑i=1nSi∑ni=1GiySi

不规则多边形重心计算

def get_gravity_point(points):"""@brief      获取多边形的重心点@param      points  The points@return     The center of gravity point."""if len(points) <= 2:return list()area = Decimal(0.0)x, y = Decimal(0.0), Decimal(0.0)for i in range(len(points)):lng = Decimal(points[i][0])lat = Decimal(points[i][1])nextlng = Decimal(points[i-1][0])nextlat = Decimal(points[i-1][1])tmp_area = (nextlng*lat - nextlat*lng)/Decimal(2.0)area += tmp_areax += tmp_area*(lng+nextlng)/Decimal(3.0)y += tmp_area*(lat+nextlat)/Decimal(3.0)x = x/areay = y/areareturn [float(x), float(y)]

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不规则多边形重心求解

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