《算法导论》第16章贪心算法个人笔记

第16章贪心算法

16.1 活动选择问题

问题：假设有一个n个活动的集合S=a1,a2,...,anS={a_1,a_2,...,a_n}，这些活动使用同一个资源，而这个资源在某个时刻只能供一个活动使用。每个活动都有一个开始时间sis_i和一个结束时间fif_i。若si≥fis_i\geq f_i或sj≥fis_j\geq f_i，则aia_i和aja_j是兼容的。在活动选择问题中，我们希望选出一个最大兼容活动集。假设活动已按结束时间的单调递增顺序排序。

1、动态规划法

令SijS_{ij}表示在aia_i结束之后开始。且在aja_j开始之前结束的那些活动的集合，用c[i,j]c[i,j]表示集合SijS_{ij}的最优解的大小，故有

c[i,j]=0,ifSij=ϕc[i,j]=maxak∈Sijc[i,k]+c[h,j]+1,ifSij≠ϕ

c[i,j]=0, if S_{ij}=\phi\\ c[i,j]=\max_{a_k\in S_{ij}}{c[i,k]+c[h,j]+1}, if S_{ij}\neq\phi

2、贪心选择

定理：考虑任意非空子问题SkS_k，令ama_m是SkS_k中结束时间最早的活动，则ama_m在SkS_k的某个最大兼容活动子集中。
证明：令AkA_k是SkS_k的一个最大兼容子集，且aja_j是AkA_k中结束时间最早的活动。
若aj=ama_j=a_m，即证。
若aj≠ama_j\neq a_m，将AkA_k中的aja_j替换为ama_m，因为fm≤fjf_m\leq f_j，则还是兼容的，数目不变，故替换后的也是SkS_k的一个最大兼容活动子集，且包含ama_m。
- 递归贪心算法
为方便初始化，添加一个虚拟活动a0a_0，其结束时间f0=0f_0=0

public List<Integer> RECURSIV_ACTIVITY_SELECTOR(int[] s,int[] f,int k,int n){int m = k + 1;while(m<=n && s[m]<=f[k])m++;List<Integer> res = new ArrayList<>();if(m<=n)return res.add(m).addAll(RECURSIV_ACTIVITY_SELECTOR(int[] s,int []f,int k,int n))elsereturn res;
}

迭代贪心算法

public List<Integer> GREED_ACTIVITY_SELECTOR(int[] s,int[] f){int n = s.length - 1; //去掉虚拟活动List<Integer> res = new ArrayList<>();res.add(1);int k = 1;for(int i = 2; i<=n; i++){if(s[m]>=f[k]){res.add(m);k = m;}}return res;
}

16.2 贪心算法原理

一般地，我们按如下步骤设计贪心算法：
1. 将最优化问题转化为这样的形式：对其做出一次选择后，只剩下一个子问题需要求解。
2. 证明做出贪心选择后，原问题总是存在最优解，即贪心选择总是安全的。
3. 证明做出贪心选择后，剩余的子问题满足性质：其最优解与贪心选择组合即可得到原问题的最优解，这样就得到了最优子结构。

贪心对动态规划

0-1背包问题：动态规划

分数背包问题：贪心

/*** @param m 表示背包的最大容量* @param n 表示商品个数* @param w 表示商品重量数组* @param p 表示商品价值数组*/
public static int[][] Package1(int m, int n, int[] w, int[] p) {//c[i][v]表示前i件物品恰放入一个重量为m的背包可以获得的最大价值int c[][] = new int[n + 1][m + 1];for (int i = 0; i < n + 1; i++)c[i][0] = 0;for (int j = 0; j < m + 1; j++)c[0][j] = 0;for (int i = 1; i < n + 1; i++) {for (int j = 1; j < m + 1; j++) {//当物品为i件重量为j时，如果第i件的重量(w[i-1])小于重量j时，c[i][j]为下列两种情况之一：//(1)物品i不放入背包中，所以c[i][j]为c[i-1][j]的值//(2)物品i放入背包中，则背包剩余重量为j-w[i-1],所以c[i][j]为c[i-1][j-w[i-1]]的值加上当前物品i的价值if (w[i - 1] <= j) {if (c[i - 1][j] < (c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1]))c[i][j] = c[i - 1][j - w[i - 1]] + p[i - 1];elsec[i][j] = c[i - 1][j];} elsec[i][j] = c[i - 1][j];}}return c;
}
//用一维数组存储
public static int Package2(int m, int n, int[] w, int[] p) {int[] f = new int[m + 1];for (int i = 1; i < f.length; i++)    //必装满则f[0]=0,f[1...m]都初始化为无穷小f[i] = Integer.MIN_VALUE;for (int i = 0; i < n; i++) {for (int j = f.length - 1; j >= w[i]; j--) {f[j] = Math.max(f[j], f[j - w[i]] + p[i]);}}return f[m];
}

在具体运用时，可以首先假设全部物品装进背包是否超载，若不超载则直接输出最优解。有一次某公司一道笔试题就是这样，直接上dq就超时gg了=。=

16.3 赫夫曼编码

赫夫曼编码用于压缩数据，根据每个字符的出现频率构造最优二进制表示。
前缀码：没有任何码字是其他码字的前缀。
构造赫夫曼编码，使用一个以属性freq为关键字的最小优先队列Q。

HUFFMAN(C)
n = C.length
Q = C
for i =1 to n-1allocate a new node zz.left = x = EXTRACT-MIN(Q)z.right = y = EXTRACT-MIN(Q)z.freq = x.freq + y.freqINSERT(Q,z)
return EXTRACT-MIN(Q) //return the root of the tree

定理：过程HUFFMAN会生成一个最优前缀码。