证明|A||B|=|AB|

引理

1.下三角和上三角行列式的值等于对角线元素之积
2.任一方形行列式都可以通过行列倍加的操作转化为下三角行列式或者上三角形式且维持值不变。
3.由1和2可以推出下式：
∣Ak×kCk×n0Bn×n∣=∣Ak×k0Ck×nBn×n∣=∣Ak×k∣∣Bn×n∣\left|\begin{matrix} A_{k\times k}&C_{k\times n}\\0&B_{n\times n} \end{matrix}\right|=\left|\begin{matrix} A_{k\times k}&0\\C_{k\times n}&B_{n\times n} \end{matrix}\right|=|A_{k\times k}||B_{n\times n}|∣∣∣∣Ak×k0Ck×nBn×n∣∣∣∣=∣∣∣∣Ak×kCk×n0Bn×n∣∣∣∣=∣Ak×k∣∣Bn×n∣

证明

设两个n阶方阵A=(ai,j),B=(bi,j)A=(a_{i,j}),B=(b_{i,j})A=(ai,j),B=(bi,j)。记2n阶行列式
D=∣An×n0−En×nBn×n∣=∣A∣∣B∣D=\left|\begin{matrix} A_{n\times n}&0\\-E_{n\times n}&B_{n\times n} \end{matrix}\right|=|A||B|D=∣∣∣∣An×n−En×n0Bn×n∣∣∣∣=∣A∣∣B∣
对D用行列倍加的操作消去右下角的B，便得到
D=∣An×nCn×n−En×n0∣=(−1)n∣−E∣∣C∣=∣C∣D=\left|\begin{matrix} A_{n\times n}&C_{n\times n}\\-E_{n\times n}&0 \end{matrix}\right|=(-1)^n|-E||C|=|C|D=∣∣∣∣An×n−En×nCn×n0∣∣∣∣=(−1)n∣−E∣∣C∣=∣C∣
其中可以得知C=AB.

因此有|A||B|=|AB|

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