【089】深度学习读书笔记:P29证明迹Tr(AB)=Tr(BA)
已知m行n列矩阵A,n行m列矩阵B。Tr表示迹运算。求证 Tr(AB)=Tr(BA) 。
证明:
令 Ax,y 表示矩阵A的第x行y列元素。令C=AB。 D=BA。C是m阶方阵。D是n阶方阵。我们可以分别对A、B做如下表示:
因为迹运算只计算矩阵对角线的和,我们可以只关心方阵C的对角线。
C1,1 = A1,1B1,1 + A1,2B2,1 + ··· + A1,nBn,1
C2,2 = A2,1B1,2 + A2,2B2,2 + ··· + A2,nBn,2
…
Cm,m = Am,1B1,m + Am,2B2,m + ··· + Am,nB>n,m
根据上面的等式,用 Cj,j 表示 m 阶方阵 AB 的第 j 行 j 列元素,我们可以得到一个规律:
因为迹运算只计算矩阵对角线的和,我们可以只关心 n 阶方阵 D 的对角线。
D1,1 = B1,1A1,1 + B1,2A2,1 + ··· + B1,mAm,1
D2,2 = B2,1A1,2 + B2,2A2,2 + ··· + B2,mAm,2
…
Dn,n = Bn,1A1,n + Bn,2A2,n + ··· + Bn,mAm,n
设n阶方阵BA 的第r行r列元素是Dr,r 。
因为在不引起混淆的前提下,求和标号是任意的。我们可以令 j=k , i = r
所以 Tr(AB) = Tr(BA)
我们可以得到更一般的结论。多个矩阵相乘得到的方阵的迹,和将这些矩阵中的最后一个挪到前面之后相乘的迹是相同的。当然,我们要考虑挪动矩阵后矩阵乘积依然定义良好。下面是求证的过程:
在保证挪动矩阵后矩阵乘积仍然定义良好的情况下,用F(i)表示第i个相乘的矩阵,求证
证明:
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