【计几】圆的一些定理

文章目录

笛卡尔定理
圆冥定理
极点 & 极线
题目
- HDU 6158 笛卡尔定理 + 韦达定理
- [牛客 contest 553 Chino with Geometry](https://ac.nowcoder.com/acm/contest/553/A)

笛卡尔定理

链接：笛卡尔定理-百度百科

- 定律定义：
若平面上四个半径为r1、r2、r3、r4的圆两两相切于不同点，则其半径满足以下结论：

（1）若四圆两两外切，则 (∑i=141ri)2=2∑i=141ri2(\sum_{i=1}^4{\frac{1}{r_i}})^2=2\sum_{i=1}^4{\frac{1}{r_i^2}}(i=1∑4ri1)2=2i=1∑4ri21
（2）若半径为r1、r2、r3的圆内切于半径为r4的圆中，则 (1r1+1r1+1r3−1r4)2=2∑i=141ri2(\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}-\frac{1}{r_4})^2=2\sum_{i=1}^4{\frac{1}{r_i^2}}(r11+r11+r31−r41)2=2i=1∑4ri21

- 定理推广：笛卡尔定理在三维坐标系中也有类似的结论：若五个球的半径是ri(1,2,…,5)，满足任意一个球与其他四个球外切，则 (∑i=151ri)2=3∑i=151ri2(\sum_{i=1}^5{\frac{1}{r_i}})^2=3\sum_{i=1}^5{\frac{1}{r_i^2}}(i=1∑5ri1)2=3i=1∑5ri21

圆冥定理

割线定理_皮卡皮卡皮~~的博客-CSDN博客

圆幂定理-百度百科

圆幂定理是一个总结性的定理，是对相交弦定理、切割线定理及割线定理（切割线定理推论）以及它们推论的统一与归纳。 [1] 根据两条与圆有相交关系的线的位置不同，有以下定理：

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
割线定理：从圆外一点P引两条割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD

从上述定理可以看出，两条线的位置从内到外，都有着相似的结论。经过总结和归纳，便得出了圆幂定理。

极点 & 极线

稍微了解了一点，不知道有什么用但是写下来吧。有好多性质都看不懂。

【解析几何】什么是极线，好吃吗?

极线

个人认为的极线的几何定义：

过平面上的某定点作二次曲线的割线（或切线），作二次曲线在割点（切点）的切线，两个切线的交点的轨迹所在直线就是极线，定点就称该极线的极点。

极点和极线的关系：

极点和极线是一一对应的。

延伸出的二次曲线的性质：

过平面上的某定点作二次曲线的割线（或切线），作二次曲线在割点（切点）的切线，两个切线的交点的轨迹所在直线就是极线。
过平面上的某定直线上的任意一点作二次曲线的切线，切点所在直线始终过定点（即极点）。

题目

HDU 6158 笛卡尔定理 + 韦达定理

题意：给定两两相切的三个圆，求第 kkk 个与这三个圆相切的圆的面积。

题解：- HDU 6158 The Designer【计算几何+笛卡尔定理+韦达定理】

HDU 6158 笛卡尔定理 + 韦达定理
思路：大致思想就是，已知我们有三个圆（其中有一个是外切圆）满足笛卡尔定理的第二个形式，那么我们根据等式，可以得到一个一元二次方程，方程的两个解就是外切圆内部与两个内圆外切的第四个圆的半径（有两种情况）。之后韦达定理迭代即可。

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;const int N=3e6+10;
typedef long long LL;
const double eps = 1e-7;
const double pi = acos(-1);double ans[N];int main()
{int t; scanf("%d", &t);while(t--){double r, R; int n;double t ;scanf("%lf %lf %d", &r, &R, &n);if(r > R) swap(r, R);ans[1] = R - r;for(int i=1; i<= n/2 + 5; i++){t = 2 * (1 / ans[i] + 1 / r - 1 / R);if(i == 1) ans[2] = 2 / t;else ans[i + 1] = 1 / (t - 1 / ans[i - 1]);if(ans[i] < eps) break;}double res = pi * ans[1] * ans[1];int cnt = 1;for(int i=2; ans[i] < eps && cnt < n; i++){if(n - cnt >= 2) cnt += 2, res += 2 * pi * ans[i] * ans[i];else cnt++, res += pi * ans[i] * ans[i];}printf("%.5f\n",res);}system("pause");return 0;
}

牛客 contest 553 Chino with Geometry

题解：圆冥定理