《格理论与密码学》笔记一

格的基本定义

根据向量空间的概念，格的定义如下：

定义3.1 设v1,⋯,vn∈Rmv_1,\cdots,v_n \in \mathbb{R}^mv1,⋯,vn∈Rm为一组线性无关的向量。由v1,⋯,vnv_1,\cdots,v_nv1,⋯,vn生成的格LLL指的是向量v1,⋯,vnv_1,\cdots,v_nv1,⋯,vn的线性组合构成的向量集合，且其所使用的系数均在Z\mathbb{Z}Z中，即L={a1v1+a2v2+⋯+anvn:a1,a2,⋯,an∈Z}L= \{a_1v_1+a_2v_2+\cdots+a_nv_n:a_1,a_2,\cdots,a_n\in\mathbb{Z}\}L={a1v1+a2v2+⋯+anvn:a1,a2,⋯,an∈Z}

任意一组可以生成格的线性无关的向量都称为格的基，格的基中的向量个数成为格的维度。任意两组这样的向量中，向量的个数相同。

定理3.1 格LLL的任意两个基可以通过在左边乘上一个特定的矩阵来相互转化。这个矩阵是由整数构成的，并且它的行列式值为±1\pm1±1。

定义3.2 所有向量的坐标都是整数的格称为整数格。等价地，当m≥1m\ge1m≥1时，整数格时Zm\mathbb{Z}^mZm的一个加法子群。

定义3.3 若Rm\mathbb{R}^mRm的一个子集LLL在加法和减法下是封闭的，则它是一个加法子群。如果再满足以下条件，那么它是一个离散加法子群：
存在一个常数ε>0\varepsilon>0ε>0，对任意v∈Lv \in Lv∈L，有L⋂{ω∈Rm:∣∣ν−ω∣∣<ε}={v}L\bigcap \{ \omega\in\mathbb{R}^m:||\nu-\omega||<\varepsilon\} = \{v\}L⋂{ω∈Rm:∣∣ν−ω∣∣<ε}={v}
换句话说，如果在LLL中任取一个向量vvv，并以vvv为圆心，以半径ε\varepsilonε画一个实心圆，那么LLL中不会有别的点落在圆内。

定理3.2 Rm\mathbb{R}^mRm的一个子集是一个格，当且仅当它是一个离散加法子群。

定义3.4 设LLL是一个维度为nnn的格，且v1,v2,…,vnv_1,v_2,…,v_nv1,v2,…,vn是LLL的基。对应于这个基的基础区域是如下向量的集合：F(v1,v2,…,vn)={t1v1+t2v2+…+tnvn:0≤ti<1}F(v_1,v_2,…,v_n)=\{t_1v_1+t_2v_2+…+t_nv_n:0\le t_i <1\}F(v1,v2,…,vn)={t1v1+t2v2+…+tnvn:0≤ti<1}

定理3.3设L⊂RnL\subset\mathbb{R}^nL⊂Rn是一个维度为n的格，且FFF是它的基础区域。那么，对于任意向量w∈Rnw\in\mathbb{R}^nw∈Rn，存在唯一的t∈Ft\in Ft∈F和唯一的v∈Lv \in Lv∈L，满足w=t+vw=t+vw=t+v。也可写为F+v={t+v:t∈F}F+v = \{t+v:t\in F\}F+v={t+v:t∈F}

定义3.5 设LLL是一个维度为n的格，FFF是LLL的一个基础区域。FFF的n维的体积称为LLL的行列式（有时也成为协体积），记为detLdetLdetL。

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