如何由电磁理论引出牛顿力学下的引力场方程

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来源：余坤 Whyeemcc的日志

两个月前的某几天在教室里，翻看费曼物理学讲义的时候，上面提到一个非常有趣的问题：“地球对其表面或外面一点所产生的力，正像地球质量全部集中在地心所产生的力一样。我们一直假设问题的答案就是如此，但这种假设的正确性并不明显，因为当靠近一个物体时，有些质量离我们非常近，而有些质量则离开我们较远。当我们把所有的效果加起来，净的作用力正好与质量全部集中在中点的力一样，这似乎是一个奇迹。”——摘自《费曼讲义卷一》

也许费曼怎么也不会想到，“这是一个奇迹”这句话如今会在中国这么火......撇开这个，其实我们在计算天体轨道的时候，往往把天体看做一个质点来对待，不光光是相距太遥远而对它们进行的近似，即便是距离较近的情况下，这也是成立的，原因正如上面所说。于是，费曼便开始证明这个奇迹，物理直觉极高并反感繁琐数学计算的他竟把球体一片片分割最后求积分，这并不像他擅长投机取巧的风格（其实他留了一手在《卷二》）。

于是乎，我坐椅子上苦思冥想，一定有更简便的方法证明这个美妙的理论，结果算了一整张纸，利用前后对称的圆周产生的引力逆推出等效距离等等，结果是：它并不在球心！它并没有简单到我所期望的审美度......就这样草草了事了。

看到卷二电磁学部分，着重引进了场的概念，场的确是个好东西，因为让我更加觉得物理和数学是多么的融洽。场是能量的一种体现，例如一个正电荷，场的能量要在三维空间内铺展开，世界的美妙之处之一在于很多事物都是对称的，你能想象的到，上帝大概会让它以点电荷为中心，向四周发散，就像小球爆炸一样，一个急速暴胀的空间对称的球体，然而，离球心越近的地方所包围住的空间是微小的，从这个小球表面穿出去的场都是点电荷供给的，它是守恒的，所以所含能量较密，如果离的越远，这个球的体积越大，但包含的场依然是里面那个“遥远”点电荷提供的，虽然有限，但依然在球的表面上均匀地分布着，在能量互不“渗透”的前提下，由近到远的时候，它的能量强度必然会受到空间影响，这个逻辑的直接结果是：场强度和半径r有着密切的关系，正是因为这个守恒关系，“有限”的场向外扩展，球的表面积不断以半径的平方系数增大，所以场的强度必须以半径的平方系数减小，总体一来，场的“总和”并没有变，就像一个圆柱体，把它压扁，虽然变矮小了，但却胖了，总的体积并不变。

世界的美妙之处之二在于很多事物都是相似的，引力与电力，如出一辙。我们一样能构造一个引力场，它的强度也是随半径平方缩小，早在200多年前，已被卡文迪许的扭秤实验所证实，同样，他也发现了电力的强度关系。

在第二卷，费曼用高斯定理表述了带电球体的场后，说，同样的证法也可用于引力场，可以比积分更容易证明牛顿的问题。于是我便恍然大悟.....

鼓舞我一步步尝试建立这个模型。

（一）质量等效的证明

首先，如上图，参照电磁学，“一根”引力线穿过一个锥形的闭合曲面它的通量会是多少，对于那个较小的面为正，较大的面为负，引力的大小随1/r^2减少，而表面积却正比于r^2（曲面足够小以至于近似于边界为直线），所以对于每个面的通量都会因为r^2的相消而与半径无关，即便两个面不是与引力线垂直的，也会由于引力强度减小一个余弦因子而面积增大一个同样的余弦因子，它们相乘得到的通量依然不变。

现在来看看如果一个单位的质量在闭合曲面内，它的引力线通过这个闭合曲面的通量该是多少。如下图

在这个单位质量的周围我们虚设一个闭合球面，可以看到，我们把这个内含一个空洞的“体”分成无数个细小的锥体，像第一个图一样，通过第一个面的通量和通过第二个面的通量是相等的，由此可以想象的到，通过外面大的不规则的曲面S的通量，与通过内部小球体的通量其实是完全相同的，于是我们可以完全摒弃那个不规则曲面，直接用小球体来计算任何一个闭合曲面的通量。然而这一切，都要归功于场强度正比于1/r^2的关系。

若内部小球体的半径为r，则它的表面积为4πr^2，引力场的强度就是引力的大小，它是我们很熟悉的万有引力公式去掉一个质量符号：Gm/r^2。

所以通过球面的通量可以计算为：（引力场向内，所以定义通量为负值）

可以看出，这个量与半径无关，所以对于一个闭合曲面内的点质量，不论曲面的半径有多大，曲面多么不规则，引力线的通量都是定值，即为—4πGm。

这是内含一个单位质量的情况，如果里面出现两个单位质量呢，很明显它的整体通量会是两倍，所以它的场是线性叠加的，跟电场是同一种情况。这就很好考虑了，如果是一堆单位质量组成的质量块，就最简单的情况吧，球体，那它通过包围它的曲面的通量就等于所有点质量的贡献之和。如下图所示：

对于这个面引力线向内的通量为

根据我们之前的推论，任意一个闭合曲面内质量的通量，等同于所有点质量通量的贡献之和，单位点质量的通量是—4πGm，那么点质量集合的球体M的引力的通量即为—4πGM。

这两者是相等的。联立起来：

从最后的结果可以看到，球体M在周围任何一点长生的场的大小T，就是如上的表达式本身，然而这个表达式也可看做一个质量为M的点电荷，在半径为R的地方所产生的场，这和开头所说“地球在外面所产生的引力，正像地球质量全部集中在地心所产生的力一样”是同一个概念。

这么一个普通人看来也许很是常理的问题，如果用微积分证明会显得很繁琐，利用场的概念和高斯定理，干净利落地证明它的存在性，这得感叹完美的几何学和伟大的造物主，恩，这是一个奇迹。

（二）无限大薄片的引力场大小

我们可以利用这个奇迹去解决更多的问题。

譬如考虑一个无限大物质薄片作用于一个物体上的万有引力，显然薄片对点P的吸引是指向薄片的。设这块无限大薄片的面密度为ρ，那么如何求出P处的单位质量的万有引力呢？我们以往的做法就是取一个长度元dl，做出这个长度元对点P的引力，然后对整个无限大面积求积分即可。如下图的左边那样。

现在可以换一种方式，利用高斯定理，如上图右边，取一个立方体一样的闭合曲面做为高斯面，包围住一定面积的薄片，被包围的面积为S，由于面密度为ρ，那么这块物质的质量即为ρS。

薄片上下两面都会存在引力场，所以它的引力线的通量为：

因为之前推论过，任意一个闭合曲面内的引力场的通量都与形状无关，只与内部的质量的多少有关，即为—4πGM，所以，联立下式：

这个答案与利用积分得到的是完全一样的，显然是正确的，但可以看到一个奇妙的地方，它与距离无关，是一个定值！按照常规的理解，当物体离这个面越来越远，以至于非常遥远时，它应该是感觉不到薄片对它的吸引了，但事实并非如此，因为薄片是无限大的！这是一个无限大和无限小相乘的问题，结果不为0，为一个定值。其实也可以这样考虑，费曼说：如果我们接近这个无限大薄片，那么这块薄片上的绝大部分物质是处于不适宜的角度在吸引我们，假如我们离的远一些，则薄片上有较多的物质处于更有利的角度把我们拉向薄片，在任何距离上，最有效的物质位于一定的圆锥内。多么精辟形象的分析！再次敬佩老顽童费曼。

（三）球壳的内部不存在引力吗？

还有一个有趣的问题，如果把地球地壳以下的东西都掏空，只剩一个地球壳（当然，这只是一个想象），那么如果一个人跑到这个地球壳内部去了，人会呈现一个什么状态呢。事实上是，人会漂浮在里面，不受任何引力的作用，你可以在地球壳内部的东边岩石上一蹬腿，经过一段时间，你就飘到地球西边去了........

单纯地从几何学上来说，是很显然易见的。

人随便处在内部的某一个位置，分别取上下两个对称的面，这两个面的面积并不是相等的，a面比b面大，面积之比a/b=r1^2/r2^2，所以a、b处的质量之比等同于面积只比，于是，a在P处产生的引力大小与b在P处产生的大小的比为：

从而得出，a和b对P的吸引力的大

小是完全相等的，所以在这个方向上由于两个同等大小的力互相拉扯最终不受力，依此类推，整个球体可以分割为无数对这样的两个小曲面，所以，只要是球壳内部，是不会受到引力的作用的。

如果利用高斯定理，不经过任何计算便可得到这个结论，因为在球内随便选取一个高斯面，在这个高斯面的内部不可能存在质量，没了这个质量源，它向内的通量就是0，即不存在“引力线”，也就不会受到引力的作用。有趣的结论在于，若真存在这样一个只有地壳的世界，那么坐在地表的牛顿还依然会被落下的苹果砸到，但倘若掉进了地球这个空空的内部，就只有飘来飘去了。电磁学也是如此，金属外壳所造成的电磁屏蔽，一样是这个道理。

（四）牛顿体系下的引力场方程

引力做为一个典型的保守力，可以利用它的场的概念，一步步导出引力势，以及它的引力场方程。不妨先看看一个单位质量物质的引力场是如何的：

物质相互间吸引，这个场由外向内，表明了引力的方向。

保守力一个很重要的特点就是它沿任意一个环路的曲线积分为0，从A选取一个路线到B，再从B到A，不论这个环路多么曲折，它与引力的积分依然是0，若把这条道路一份为二，那么可以得出A到B曲线积分和B到A曲线积分的大小是相同的，只不过方向相反，所以最后相加结果为0 ，这样，可以认为，A到B与引力的积分，与随意选取哪条路径无关，得出的结果都是一个固定值，（高等数学中的格林公式就讨论了曲线积分与路径无关的条件）。势的概念就很理所当然的出现了。

在一个场内，我们把一个物体从A处移到B处，对对它所做的功就是其势能的变化

继续利用微元思想，选取一段很小的距离，那么引力所做的功为（方向问题，所以为负）

引力的矢量可以表示为引力势场的梯度的负方向，我们都知道，引力势在无限远处最大，为0，标量场的梯度是由小到大变化最快的方向，所以梯度方向由里朝外，而引力方向由外朝里，与上述公式完全相符。

另外在高等数学中曾经证明过，一个矢量通过曲面的通量等于这个矢量的散度对体积的积分，对于引力来说，它的通量又为定值—4πGM，所以

最后的公式，就是牛顿体系下的引力场方程，是一个泊松方程的形式，为什么非要特指牛顿经典力学体系，因为这与爱因斯坦广义相对论的引力理论有所区别，不同之处在于，爱因斯坦引进了空间度规，把引力几何化，时空的弯曲造成了引力场的存在。以下便是爱因斯坦重力场方程：

这里引进了很多张量，与牛顿那个简洁的场方程似乎一点都不一样，然而，在弱场近似以及慢速近似的情况下，爱因斯坦场方程可以经推导简化为牛顿场方程，两者是有联系的，只不过爱因斯坦描述的是真理，牛顿的方程则是真理在某一方面的极限。

虽然暂且对这个公式毫无头绪一点看不懂，但毕竟是爱因斯坦毕生的最高成就，先行感叹下。在我看来，牛顿熟练地运用自创但并未公布的微积分发现了上帝的游戏规则，更是建立起了现代数学和科学的基石，他绝对是文明史上做出最大贡献的人，爱因斯坦同样伟大，不畏权威，才让我们能更清楚地看清这个世界。

参考书目：《费恩曼物理学讲义》

Whyeemcc

2011年8月15日