1. 克鲁斯卡尔算法介绍

2. 公交站问题

2.1 克鲁斯卡尔算法图解

2.2 克鲁斯卡尔算法分析

2.3 如何判断是否构成回路

3. 代码实现

1. 克鲁斯卡尔算法介绍

1)克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。（最小生成树也可以通过普里姆算法生成，具体可参考算法其实很简单—普利姆算法）

2)基本思想:按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路

3)具体做法:首先构造一一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

2. 公交站问题

1)某城市新增7个站点(A,B,C,D,E,F,G)，现在需要修路把7个站点连通

2)各个站点的距离用边线表示(权)，比如A-B距离12公里

3) 问:如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

2.1 克鲁斯卡尔算法图解

第1步:将边<E,F>加入R中。

边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第2步:将边<C,D>加入R中。

上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第3步:将边<D,E>加入R中。

上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第4步:将边<B,F>加入R中。

上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路;因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>.将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。

第5步:将边<E,G>加入R中。

上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。

第6步:将边<A,B>加入R中。

上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路;因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>.将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。

此时，最小生成树构造完成!它包括的边依次是: < <E,F> <C,D> <D,E><B,F> < <E,G> <A,B>.

2.2 克鲁斯卡尔算法分析

根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题:

问题一对图的所有边按照权值大小进行排序。

问题二将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。

问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。

问题二，处理方式是:记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。

2.3 如何判断是否构成回路

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点:

(01) C的终点是F。

(02) D的终点是F。

(03)E的终点是F。

(04) F的终点是F。

关于终点的说明:

1)就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后;某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。

2)因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点,否则将构成回路。

3. 代码实现

package com.example.datastructureandalgorithm.kruska;import java.util.Arrays;
import java.util.Collections;/*** @author 浪子傑* @version 1.0* @date 2020/6/17*/
public class KruskaDemo {public static final int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵int matrix[][] = {/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*//*A*/ {0, 12, INF, INF, INF, 16, 14},/*B*/ {12, 0, 10, INF, INF, 7, INF},/*C*/ {INF, 10, 0, 3, 5, 6, INF},/*D*/ {INF, INF, 3, 0, 4, INF, INF},/*E*/ {INF, INF, 5, 4, 0, 2, 8},/*F*/ {16, 7, 6, INF, 2, 0, 9},/*G*/ {14, INF, INF, INF, 8, 9, 0}};Kruska kruska = new Kruska(vertexs, matrix);kruska.print();System.out.println(Arrays.toString(kruska.getEdges()));EData[] eDatas = kruska.getEdges();Collections.sort(Arrays.asList(eDatas));
//        kruska.sortEData(eDatas);System.out.println(Arrays.toString(eDatas));kruska.kruska();}
}class Kruska {private int edgeNum;private char[] vertexs;private int[][] matrix;public Kruska(char[] vertexs, int[][] matrix) {this.vertexs = vertexs;this.matrix = matrix;int length = vertexs.length;for (int i = 0; i < length; i++) {for (int j = i + 1; j < length; j++) {if (matrix[i][j] != KruskaDemo.INF) {edgeNum++;}}}}public void print() {for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = 0; j < vertexs.length; j++) {System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);}System.out.println();}}/*** 使用冒泡排序对eDatas进行排序** @param eDatas*/public void sortEData(EData[] eDatas) {for (int i = 0; i < eDatas.length - 1; i++) {for (int j = 0; j < eDatas.length - i - 1; j++) {if (eDatas[j + 1].weight < eDatas[j].weight) {EData temp = eDatas[j];eDatas[j] = eDatas[j + 1];eDatas[j + 1] = temp;}}}}/*** 查找ch对应点的下标** @param ch* @return*/public int getPosition(char ch) {for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {if (vertexs[i] == ch) {return i;}}return -1;}/*** 获取邻接矩阵转为的EData** @return*/public EData[] getEdges() {int index = 0;EData[] eDatas = new EData[edgeNum];for (int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for (int j = i + 1; j < vertexs.length; j++) {if (matrix[i][j] != KruskaDemo.INF) {eDatas[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);}}}return eDatas;}/*** 获取下标为i的顶点的终点，用于判断两个顶点的重点是否相同** @param ends 记录各个顶点的重点，动态生成的* @param i* @return*/public int getEnd(int[] ends, int i) {while (ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}public void kruska() {// 表示结果数组的索引int index = 0;// 记录每个顶点的重点int[] ends = new int[edgeNum];// 最终返回的结果EData[] result = new EData[edgeNum];// 获取所有边的集合EData[] eDatas = getEdges();// 对eData进行排序sortEData(eDatas);for (int i = 0; i < edgeNum; i++) {// 获取开始顶点的位置int p1 = getPosition(eDatas[i].start);// 获取结束顶点的位置int p2 = getPosition(eDatas[i].end);// 获取终点位置int m = getEnd(ends, p1);int n = getEnd(ends, p2);// 当不相同时，说明没有形成回来if (m != n) {ends[m] = n;result[index++] = eDatas[i];}}for (int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(result[i]);}}
}class EData implements Comparable<EData> {char start;char end;int weight;public EData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}@Overridepublic String toString() {return "EData{" +"<" + start +", " + end +"> =" + weight +'}';}@Overridepublic int compareTo(EData o) {return this.weight - o.weight;}
}

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