克鲁斯卡尔算法

大纲目录

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克鲁斯卡尔算法
- 一、应用场景-公交站问题
- 二、克鲁斯卡尔算法介绍
- 三、克鲁斯卡尔算法图解说明
- 四、源码

一、应用场景-公交站问题

某城市新增7个站点(A, B, C, D, E, F, G) ，现在需要修路把7个站点连通
各个站点的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 12公里
问：如何修路保证各个站点都能连通，并且总的修建公路总里程最短?

二、克鲁斯卡尔算法介绍

克鲁斯卡尔(Kruskal)算法，是用来求加权连通图的最小生成树的算法。
基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
具体做法：首先构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止

三、克鲁斯卡尔算法图解说明

以城市公交站问题来图解说明克鲁斯卡尔算法的原理和步骤：

在含有n个顶点的连通图中选择n-1条边，构成一棵极小连通子图，并使该连通子图中n-1条边上权值之和达到最小，则称其为连通网的最小生成树。
例如，对于如上图G4所示的连通网可以有多棵权值总和不相同的生成树。
克鲁斯卡尔算法图解
3.1 以上图G4为例，来对克鲁斯卡尔进行演示(假设，用数组R保存最小生成树结果)。

第1步：将边<E,F>加入R中。
边<E,F>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第2步：将边<C,D>加入R中。
上一步操作之后，边<C,D>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第3步：将边<D,E>加入R中。
上一步操作之后，边<D,E>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第4步：将边<B,F>加入R中。
上一步操作之后，边<C,E>的权值最小，但<C,E>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<C,E>。同理，跳过边<C,F>。将边<B,F>加入到最小生成树结果R中。
第5步：将边<E,G>加入R中。
上一步操作之后，边<E,G>的权值最小，因此将它加入到最小生成树结果R中。
第6步：将边<A,B>加入R中。
上一步操作之后，边<F,G>的权值最小，但<F,G>会和已有的边构成回路；因此，跳过边<F,G>。同理，跳过边<B,C>。将边<A,B>加入到最小生成树结果R中。
此时，最小生成树构造完成！它包括的边依次是：<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。
克鲁斯卡尔算法分析
根据前面介绍的克鲁斯卡尔算法的基本思想和做法，我们能够了解到，克鲁斯卡尔算法重点需要解决的以下两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序。
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路。
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可。
问题二，处理方式是：记录顶点在"最小生成树"中的终点，顶点的终点是"在最小生成树中与它连通的最大顶点"。然后每次需要将一条边添加到最小生存树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
如何判断是否构成回路-举例说明

在将<E,F> <C,D> <D,E>加入到最小生成树R中之后，这几条边的顶点就都有了终点：
(01) C的终点是F。
(02) D的终点是F。
(03) E的终点是F。
(04) F的终点是F。

关于终点的说明：
1)就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列好之后；某个顶点的终点就是"与它连通的最大顶点"。
因此，接下来，虽然<C,E>是权值最小的边。但是C和E的终点都是F，即它们的终点相同，因此，将<C,E>加入最小生成树的话，会形成回路。这就是判断回路的方式。也就是说，我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。

四、源码

public class KruskalCase {private int edgeNum; //边的个数private char[] vertexs; //顶点数组private int[][] matrix; //邻接矩阵//使用 INF 表示两个顶点不能连通private static final int INF = Integer.MAX_VALUE;public static void main(String[] args) {char[] vertexs = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//克鲁斯卡尔算法的邻接矩阵  int matrix[][] = {/*A*//*B*//*C*//*D*//*E*//*F*//*G*//*A*/ {   0,  12, INF, INF, INF,  16,  14},/*B*/ {  12,   0,  10, INF, INF,   7, INF},/*C*/ { INF,  10,   0,   3,   5,   6, INF},/*D*/ { INF, INF,   3,   0,   4, INF, INF},/*E*/ { INF, INF,   5,   4,   0,   2,   8},/*F*/ {  16,   7,   6, INF,   2,   0,   9},/*G*/ {  14, INF, INF, INF,   8,   9,   0}}; //大家可以在去测试其它的邻接矩阵，结果都可以得到最小生成树.//创建KruskalCase 对象实例KruskalCase kruskalCase = new KruskalCase(vertexs, matrix);//输出构建的kruskalCase.print();kruskalCase.kruskal();}//构造器public KruskalCase(char[] vertexs, int[][] matrix) {//初始化顶点数和边的个数int vlen = vertexs.length;//初始化顶点, 复制拷贝的方式this.vertexs = new char[vlen];for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {this.vertexs[i] = vertexs[i];}//初始化边, 使用的是复制拷贝的方式this.matrix = new int[vlen][vlen];for(int i = 0; i < vlen; i++) {for(int j= 0; j < vlen; j++) {this.matrix[i][j] = matrix[i][j];}}//统计边的条数for(int i =0; i < vlen; i++) {for(int j = i+1; j < vlen; j++) {if(this.matrix[i][j] != INF) {edgeNum++;}}}}public void kruskal() {int index = 0; //表示最后结果数组的索引int[] ends = new int[edgeNum]; //用于保存"已有最小生成树" 中的每个顶点在最小生成树中的终点//创建结果数组, 保存最后的最小生成树EData[] rets = new EData[edgeNum];//获取图中 所有的边的集合 ， 一共有12边EData[] edges = getEdges();System.out.println("图的边的集合=" + Arrays.toString(edges) + " 共"+ edges.length); //12//按照边的权值大小进行排序(从小到大)sortEdges(edges);//遍历edges 数组，将边添加到最小生成树中时，判断是准备加入的边否形成了回路，如果没有，就加入 rets, 否则不能加入for(int i=0; i < edgeNum; i++) {//获取到第i条边的第一个顶点(起点)int p1 = getPosition(edges[i].start); //p1=4//获取到第i条边的第2个顶点int p2 = getPosition(edges[i].end); //p2 = 5//获取p1这个顶点在已有最小生成树中的终点int m = getEnd(ends, p1); //m = 4//获取p2这个顶点在已有最小生成树中的终点int n = getEnd(ends, p2); // n = 5//是否构成回路if(m != n) { //没有构成回路ends[m] = n; // 设置m 在"已有最小生成树"中的终点 <E,F> [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]rets[index++] = edges[i]; //有一条边加入到rets数组}}//<E,F> <C,D> <D,E> <B,F> <E,G> <A,B>。//统计并打印 "最小生成树", 输出  retsSystem.out.println("最小生成树为");for(int i = 0; i < index; i++) {System.out.println(rets[i]);}}//打印邻接矩阵public void print() {System.out.println("邻接矩阵为: \n");for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for(int j=0; j < vertexs.length; j++) {System.out.printf("%12d", matrix[i][j]);}System.out.println();//换行}}/*** 功能：对边进行排序处理, 冒泡排序* @param edges 边的集合*/private void sortEdges(EData[] edges) {for(int i = 0; i < edges.length - 1; i++) {for(int j = 0; j < edges.length - 1 - i; j++) {if(edges[j].weight > edges[j+1].weight) {//交换EData tmp = edges[j];edges[j] = edges[j+1];edges[j+1] = tmp;}}}}/*** * @param ch 顶点的值，比如'A','B'* @return 返回ch顶点对应的下标，如果找不到，返回-1*/private int getPosition(char ch) {for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {if(vertexs[i] == ch) {//找到return i;}}//找不到,返回-1return -1;}/*** 功能: 获取图中边，放到EData[] 数组中，后面我们需要遍历该数组* 是通过matrix 邻接矩阵来获取* EData[] 形式 [['A','B', 12], ['B','F',7], .....]* @return*/private EData[] getEdges() {int index = 0;EData[] edges = new EData[edgeNum];for(int i = 0; i < vertexs.length; i++) {for(int j=i+1; j <vertexs.length; j++) {if(matrix[i][j] != INF) {edges[index++] = new EData(vertexs[i], vertexs[j], matrix[i][j]);}}}return edges;}/*** 功能: 获取下标为i的顶点的终点(), 用于后面判断两个顶点的终点是否相同* @param ends ： 数组就是记录了各个顶点对应的终点是哪个,ends 数组是在遍历过程中，逐步形成* @param i : 表示传入的顶点对应的下标* @return 返回的就是 下标为i的这个顶点对应的终点的下标, 一会回头还有来理解*/private int getEnd(int[] ends, int i) { // i = 4 [0,0,0,0,5,0,0,0,0,0,0,0]while(ends[i] != 0) {i = ends[i];}return i;}}//创建一个类EData ，它的对象实例就表示一条边
class EData {char start; //边的一个点char end; //边的另外一个点int weight; //边的权值//构造器public EData(char start, char end, int weight) {this.start = start;this.end = end;this.weight = weight;}//重写toString, 便于输出边信息@Overridepublic String toString() {return "EData [<" + start + ", " + end + ">= " + weight + "]";}}

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