繁星数学随想录·技巧卷

复合函数的二阶导数与参数方程求解曲率

复合函数的二阶导数

通过函数乘法求导运算法则，经计算可得结果：
y=y(x),x=x(t)x′(t)=dxdt,y′(t)=dydt,x′′(t)=d2xdt2,y′′(t)=d2ydt2d2ydx2=[]⋅y′′(t)−[]⋅x′′(t)d2ydx2=[x′(t)x′(t)3]⋅y′′(t)−[y′(t)x′(t)3]⋅x′′(t)d2ydx2=[x′(t)x′(t)3]⋅y′′(t)−[y′(t)x′(t)3]⋅x′′(t)=∣x′(t)x′′(t)y′(t)y′′(t)∣x′(t)3\begin{aligned} & y=y(x) \ \ , \ \ x=x(t)\\ \\ & x'(t)=\frac{dx}{dt} \ , \ y'(t)=\frac{dy}{dt} \ , \ x''(t)=\frac{d^2x}{dt^2} \ , \ y''(t)=\frac{d^2y}{dt^2}\\ \\ & \frac{d^2y}{dx^2}=[\ \ ]\cdot y''(t)-[\ \ ]\cdot x''(t)\\ \\ & \frac{d^2y}{dx^2}=[\frac{x'(t)}{x'(t)^3}]\cdot y''(t)-[\frac{y'(t)}{x'(t)^3}]\cdot x''(t)\\ & \frac{d^2y}{dx^2}=[\frac{x'(t)}{x'(t)^3}]\cdot y''(t)-[\frac{y'(t)}{x'(t)^3}]\cdot x''(t)=\frac{\left|\begin{array}{ll} x'(t) & x''(t) \\ y'(t) & y''(t) \end{array}\right|}{x'(t)^3} \end{aligned} y=y(x) , x=x(t)x′(t)=dtdx , y′(t)=dtdy , x′′(t)=dt2d2x , y′′(t)=dt2d2ydx2d2y=[ ]⋅y′′(t)−[ ]⋅x′′(t)dx2d2y=[x′(t)3x′(t)]⋅y′′(t)−[x′(t)3y′(t)]⋅x′′(t)dx2d2y=[x′(t)3x′(t)]⋅y′′(t)−[x′(t)3y′(t)]⋅x′′(t)=x′(t)3∣∣x′(t)y′(t)x′′(t)y′′(t)∣∣

参数方程求解曲率

曲率公式为： k=∣y′′(1+y′2)32∣\displaystyle{ k=\left|\frac{y^{\prime \prime}}{\left(1+y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}\right| }%k=∣∣(1+y′2)23y′′∣∣ ，这意味着，我们求解曲率的核心诉求转变为求解一阶导和二阶导的值。

由于在复合函数求二阶导的过程中，我们计算二阶导是将 xxx，yyy 分别看作 ttt 的函数，而这也恰恰符合参数方程的形式，于是，对于参数方程的二阶导数，我们依然有与【复合函数的二阶导数】相同的结论。

然后代入曲率公式，经计算化简可以得到：
y=y(x),x=x(t)x′(t)=dxdt,y′(t)=dydt,x′′(t)=d2xdt2,y′′(t)=d2ydt2d2ydx2=[x′(t)x′(t)3]⋅y′′(t)−[y′(t)x′(t)3]⋅x′′(t)=∣x′(t)x′′(t)y′(t)y′′(t)∣x′(t)3k=∣x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)∣(x′(t)2+y′(t)2)32=∣∣x′(t)x′′(t)y′(t)y′′(t)∣∣(x′(t)2+y′(t)2)3\begin{aligned} & y=y(x) \ \ , \ \ x=x(t)\\ \\ & x'(t)=\frac{dx}{dt} \ , \ y'(t)=\frac{dy}{dt} \ , \ x''(t)=\frac{d^2x}{dt^2} \ , \ y''(t)=\frac{d^2y}{dt^2}\\ & \frac{d^2y}{dx^2}=[\frac{x'(t)}{x'(t)^3}]\cdot y''(t)-[\frac{y'(t)}{x'(t)^3}]\cdot x''(t)=\frac{\left|\begin{array}{ll} x'(t) & x''(t) \\ y'(t) & y''(t) \end{array}\right|}{x'(t)^3} \\ \\ & k = \frac{|x'(t)y''(t)-x''(t)y'(t)|}{(x'(t)^2+y'(t)^2)^{\frac32}} =\frac{\left|\left|\begin{array}{ll} x'(t) & x''(t) \\ y'(t) & y''(t) \end{array}\right|\right|}{(\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2})^3} \\ \end{aligned} y=y(x) , x=x(t)x′(t)=dtdx , y′(t)=dtdy , x′′(t)=dt2d2x , y′′(t)=dt2d2ydx2d2y=[x′(t)3x′(t)]⋅y′′(t)−[x′(t)3y′(t)]⋅x′′(t)=x′(t)3∣∣x′(t)y′(t)x′′(t)y′′(t)∣∣k=(x′(t)2+y′(t)2)23∣x′(t)y′′(t)−x′′(t)y′(t)∣=(x′(t)2+y′(t)2)3∣∣∣∣x′(t)y′(t)x′′(t)y′′(t)∣∣∣∣
在代入方程时，我们可以通过表格法参数方程作为辅助求解曲率（代入数值的手段），

遵循【交叉相乘再相减，平方求和开根号】的原则，

	′'′	′′''′′
xxx	x′(t)=x′(t0)x'(t)=x'(t_0)x′(t)=x′(t0)	x′′(t)=x′′(t0)x''(t)=x''(t_0)x′′(t)=x′′(t0)
yyy	y′(t)=y′(t0)y'(t)=y'(t_0)y′(t)=y′(t0)	y′′(t)=y′′(t0)y''(t)=y''(t_0)y′′(t)=y′′(t0)

以题目作为示例：
曲线{x=t2+2ty=3ln⁡t上对应于 t=1的点处的曲率是曲线 \left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+2 t \\ y=3 \ln t\end{array}\right.\ 上对应于\ t=1\ 的点处的曲率是曲线{x=t2+2ty=3lnt 上对应于 t=1 的点处的曲率是
解答过程：
k=∣∣x′(t)x′′(t)y′(t)y′′(t)∣∣(x′(t)2+y′(t)2)3=∣∣∣∣(x′(t)2+y′(t)2)3(草稿纸写这个即可)k =\frac{\left|\left|\begin{array}{ll} x'(t) & x''(t) \\ y'(t) & y''(t) \end{array}\right|\right|}{(\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2})^3}= \frac{\left|\left|\begin{array}{ll} & \\ & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}\right|\right|}{(\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2})^3}\ \ (草稿纸写这个即可) k=(x′(t)2+y′(t)2)3∣∣∣∣x′(t)y′(t)x′′(t)y′′(t)∣∣∣∣=(x′(t)2+y′(t)2)3∣∣∣∣ ∣∣∣∣ (草稿纸写这个即可)

t=1	′'′	′′''′′
xxx	2t+2=42t+2=42t+2=4	222
yyy	3/t=33/t=33/t=3	−3/t2=−3-3/t^2=-3−3/t2=−3

∣423−3∣=−18→1842+32=5→53=125k=18125\begin{aligned} & \left|\begin{array}{ll} 4 & \ \ \ 2 \\ 3 & -3 \end{array}\right| = -18 \rightarrow \ 18\\ \\ & \sqrt{4^2+3^2}=5\ \rightarrow\ 5^3=125\\ \\ & k=\frac{\ \ 18}{\ \ 125} \end{aligned} ∣∣43 2−3∣∣=−18→ 1842+32=5 → 53=125k= 125 18

解答完毕。

特别鸣谢：公式推导与表格法灵感来源于 CCLCCLCCL .

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