【一些常用的递推通项公式的求法】

1.前言：在很多题目里会涉及到递推公式的使用，然而大多数递推公式都是有很强的前后依赖性，第n项的求解依赖于n前边的几项。比如大名鼎鼎的fib数列。但是很多时候，我们要O(1)公式。本文简单的谈一下一些常见的递推公式的求解。

2.一阶线性递推。形如：

$a_n=p*a_{n-1}+q*a_{n-2}$

这种序列，显然是可以构造一个矩阵，然后利用矩阵快速幂求解。但是我们也可以求解它的通项公式。首先是特征方程：

我们把an,an-1,an-2分别看作二次项，一次项，和常数项。然后就可以得到一个一元二次方程：

$x^2=p*x+q$

我们把这个方程接一下，会得到两个根x1,x2。（这里在复数域下解方程）。然后通项公式：

$\\ (1)x1!=x2,x1\in R,x2\in R.a_n=A*x_1^n+B*x_2^n \\ (2)x1==x2,x1\in R.a_n=(A1+A2*n)*x_1^n \\ (3)x1=r(cosx+i*sinx),x2=r*(cosx-i*sinx),a_n=r^n(sin n*x+cosn*x)$

在x1,x2是共轭复数时，采用复数的三角表示法给出。一般最常用的就是前两种。其中，A,B这些系数由前几项待定系数解出。

这样，其实就很轻松地推出了fib数理的通项公式。

例题：南昌网赛H。其实这个题出的很棒，但是由于数据有点水导致很多错误解法AC。真实的做法就是：

$\\x^2-3*x-2=0\\ x1=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x2=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$

然后找一下sqrt(17)关于998244353的二次剩余，把这个公式写成了O(1)公式，但是还是只能O(logn)解决，依旧不行，O(log)的原因就是快速幂还需要O(logn)，如何消除这个log？受到BSGS的启发，我们先预处理掉一部分幂，存下来然后每次在数组里面找，这样预处理之后就是O(1)的方案。

（2）一阶分式递推。 $a_{n+1}=\frac{A*a_n+B}{C*a_n+D}$ 这种类型的叫做一阶分式递推。同理，我们做这个分式的特征方程：

$x=\frac{A*x+B}{C*x+D}$

这个方程也是二次方程，也会有两个根： x1,x2.所以简单推导一下：

首先是两个相异的根：

$\\ a_{n+1}-x_1=\frac{(A-C*x_1)*(a_n-x_1)}{C*a_n+D}\\ a_{n+1}-x_2=\frac{(A-C*x_2)*(a_n-x2)}{C*a_n+D}$

由于这里的x1,x2都是常数，所以两式相除可得：

$\frac{a_{n+1}-x_1}{a_{n+1}-x_2}=\frac{A-C*x_1}{A-C*x_2}*\frac{a_n-x_1}{a_n-x_2}$

OK，这里就显然等比数列了。

然后是两个相等的根：可以解出:x1=x2= $\frac{A-D}{2*C}$ .然后：

$\frac{1}{a_{n+1}-x_1}=\frac{C*(a_n-x1)+D+C*x_1}{(A-C*x_1)*(a_n-x_1)}$ .

把这个分式拆一下，然后x1带入可得：

$\frac{1}{a_{n+1}-x}=\frac{1}{a_n-1}+\frac{2*C}{A+D}$

显然等差数列。

例题：沈阳网赛G。题目的意思就是用n个三角形和n个bar连成电路，然后问你它的总电阻是多少。

其实这个题也是一个好题，奈何推出来的式子太特殊，题目要求的精度也不是很高，不需要公式即可解决。

思路：首先我们设bn表式已经连好了n个三角形和n个bar。来推n+1

首先式bn和一个电阻为a的12并联，也就是：并联之后，再和23并联，这时和24串联，最后和34并联。按照电阻串并联的公式推一下，可以退出bn+1和bn的关系：

$b_{n+1}=\frac{5*b_n+3*a}{3*b_n+9*a}*a$

其实可以继续推下去把通项公式接出来，不过因为这个式子收敛的比较快，所以当n大于20左右时，就不会有精度的错误了，都按照20来做。所以没必要推公式，直接模拟就行。

#include<bits/stdc++.h>
double a;
double Solve(int n) {if (n == 1) {return 5.0 / 3.0 * a;}double b = Solve(n - 1);double r = 3 * a + 1.0 / (1.0 / (3 * a) + 1.0 / a + 1.0 / b);return 1.0 / (1 / (3.0 * a) + 1 / r);
}
const int N = 1e6 + 10;
char x[N];
int main() {int T;scanf("%d", &T);while (T--) {scanf("%s", x);int n;if (strlen(x) > 1)n = 10;else n = x[0] - '0';scanf("%lf", &a);printf("%.10f\n", Solve(n));}
}

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