【笔记】从递推式得到通项公式的几种方法

开头瞎扯

数列这玩意在竞赛中考的不少，可以变形一些式子，所以做一个小总结

如果题目中出现了一个数列的式子，将其化为通项公式有可能可以快速求解或者是便于题目变形并发现题目性质

解题套路

对于大部分情况来说可以将题目中给定的式子化为以下5种形式，再套用模板解题：

an+1=an+f(n)an+1=an+f(n)a_{n+1}=a_n+f(n)
an+1=f(n)·anan+1=f(n)·ana_{n+1}=f(n)·a_n
an+1=Aan+Ban+1=Aan+Ba_{n+1}=Aa_n+B
an+1=Aan+Ban−1an+1=Aan+Ban−1a_{n+1}=Aa_n+Ba_{n-1}
an+1=Aan+BCan+Dan+1=Aan+BCan+Da_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{Ca_n+D}

下面将给出解这五种模板的解题套路（跳过特征方程部分）

（这样以后做同类型的题目主要难度就在于如何转换成这5中模型了，后面给出转换的几种常用套路）

特征方程

特征方程蒟蒻也不是很懂，只懂得一个做题套路（常规全是套路），对于式子an+1=Aan+Ban−1an+1=Aan+Ban−1a_{n+1}=Aa_n+Ba_{n-1}

设an=qnan=qna_n=q^n

则原式等价于qn+1=Aqn+Bqn−1⇔q2−Aq−B=0qn+1=Aqn+Bqn−1⇔q2−Aq−B=0q^{n+1}=Aq^n+Bq^{n-1}\Leftrightarrow q^2-Aq-B=0（←←\leftarrow貌似这个式子叫这个数列的特征方程）

解出该方程解x1,x2x1,x2x_1,x_2

如果有两个不同解，得到两个符合递推式的式子：an=xn1an=x1na_n=x_1^n与an=xn2an=x2na_n=x_2^n

考虑满足题意给定两项的式子形式一定为an=Txn1+λxn2an=Tx1n+λx2na_n=Tx_1^n+\lambda x_2^n，代入数据得TTT与λ" role="presentation">λλ\lambda即可

如果仅存在一个解，可以代入式子an+1+λ=λ(an+λ)an+1+λ=λ(an+λ)a_{n+1}+\lambda=\lambda(a_n+\lambda)求解

五种模板的解法

1 ：an+1=an+f(n)an+1=an+f(n)a_{n+1}=a_n+f(n)

an=a1+∑n−1i=1f(i)an=a1+∑i=1n−1f(i)a_n=a_1+\sum_{i=1}^{n-1}f(i)

后面的视情况求解

得解

2 ：an+1=f(n)·anan+1=f(n)·ana_{n+1}=f(n)·a_n

an=a1∏n−1i=1f(i)an=a1∏i=1n−1f(i)a_n=a_1\prod_{i=1}^{n-1}f(i)

后面的视情况求解

得解

3 ：an+1=Aan+Ban+1=Aan+Ba_{n+1}=Aa_n+B

设an+1+λ=T(an+λ)an+1+λ=T(an+λ)a_{n+1}+\lambda=T(a_n+\lambda)

则解得T=A,λ=BT−1T=A,λ=BT−1T=A,\lambda =\frac {B}{T-1}

则有an+1+BA−1=A(an+BA−1)an+1+BA−1=A(an+BA−1)a_{n+1}+\frac {B}{A-1}=A(a_n+\frac {B}{A-1})

即an=An−1(a1+BA−1)−BA−1an=An−1(a1+BA−1)−BA−1a_n=A^{n-1}(a_1+\frac{B}{A-1})-\frac {B}{A-1}

得解

4 ：an+1=Aan+Ban−1an+1=Aan+Ban−1a_{n+1}=Aa_n+Ba_{n-1}

①形似于3，设an+1+λan=T(an+λan−1)an+1+λan=T(an+λan−1)a_{n+1}+\lambda a_n=T(a_n+\lambda a_{n-1})

解得T=A,λ=BA−1T=A,λ=BA−1T=A,\lambda =\frac {B}{A-1}

即an+1+BA−1an=A(an+BA−1an−1)an+1+BA−1an=A(an+BA−1an−1)a_{n+1}+\frac{B}{A-1}a_n=A(a_n+\frac{B}{A-1}a_{n-1})

或者

②设an=qnan=qna_n=q^n（同上特征方程部分）

则原式等价于qn+1=Aqn+Bqn−1⇔q2−Aq−B=0qn+1=Aqn+Bqn−1⇔q2−Aq−B=0q^{n+1}=Aq^n+Bq^{n-1}\Leftrightarrow q^2-Aq-B=0

解出该方程解x1,x2x1,x2x_1,x_2

如果有两个不同解，得到两个符合递推式的式子：an=xn1an=x1na_n=x_1^n与an=xn2an=x2na_n=x_2^n

考虑满足题意给定两项的式子形式一定为an=Txn1+λxn2an=Tx1n+λx2na_n=Tx_1^n+\lambda x_2^n，代入数据得TTT与λ" role="presentation">λλ\lambda即可

如果仅存在一个解，可以代入式子an+1+λ=λ(an+λ)an+1+λ=λ(an+λ)a_{n+1}+\lambda=\lambda(a_n+\lambda)求解

得解

5 ：an+1=Aan+BCan+Dan+1=Aan+BCan+Da_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{Ca_n+D}

先解出式子an+1=Aan+Ban+1=Aan+Ba_{n+1}=Aa_n+B的特征方程的解x1,x2x1,x2x_1,x_2

有三种情况：

#1——无实数解：这种数列无法用等比数列表示，存在周期性，可以写出前几项找规律
#2——x1≠x2x1≠x2x_1\not = x_2：列出两种方程，两者相除
#3——x1=x2x1=x2x_1=x_2：无法如#2求解，用唯一解表示出来后上下翻转消元可得

为了帮助大家自己更好地理解，下面给出对应的例题：

#1

a1=2,an+1=an−1an+1a1=2,an+1=an−1an+1a_1=2,a_{n+1}=\frac{a_n-1}{a_n+1}，求anana_n

解：

根据递推式发现数列以4为周期循环

#2

a1=4,an+1=3an+2an+4a1=4,an+1=3an+2an+4a_1=4,a_{n+1}=\frac{3a_n+2}{a_n+4}，求anana_n

解：

根据特征方程将式子转化：

an+1−1=2(an−1)an+4an+1−1=2(an−1)an+4a_{n+1}-1=\frac{2(a_n-1)}{a_n+4}…………①

an+1+2=5(an+2)an+4an+1+2=5(an+2)an+4a_{n+1}+2=\frac{5(a_n+2)}{a_n+4}…………②

②①⇔an+1+2an+1−1=5(an+2)2(an−1)②①⇔an+1+2an+1−1=5(an+2)2(an−1)\frac{②}{①}\Leftrightarrow \frac{a_{n+1}+2}{a_{n+1}-1}=\frac{5(a_n+2)}{2(a_n-1)}

则数列{an+2an−1}{an+2an−1}\{\frac{a_n+2}{a_n-1}\}是以q=52q=52q=\frac 52为公比的数列

得an+2an−1=2(52)n−1an+2an−1=2(52)n−1\frac{a_n+2}{a_n-1}=2(\frac 52)^{n-1}

可以解得anana_n

#3

a1=2,an+1=2an−4an+6a1=2,an+1=2an−4an+6a_1=2,a_{n+1}=\frac{2a_n-4}{a_n+6}，求anana_n

解：

根据特征方程将式子转化：

an+1+2=4(an+2)an+6an+1+2=4(an+2)an+6a_{n+1}+2=\frac{4(a_n+2)}{a_n+6}

发现两式分子形式相似，上下翻转

1an+1+2=an+64(an+2)=14+1an+21an+1+2=an+64(an+2)=14+1an+2\frac{1}{a_{n+1}+2}=\frac{a_n+6}{4(a_n+2)}=\frac 14+\frac {1}{a_n+2}

即数列{1an+2}{1an+2}\{\frac {1}{a_n+2}\}是以d=14d=14d=\frac{1}{4}为公差的数列

即1an+1=n41an+1=n4\frac {1}{a_n+1}=\frac{n}{4}

可以解得anana_n

转换常用套路

①Sn=f(n)Sn=f(n)S_n=f(n)

Sn−1=f(n−1)Sn−1=f(n−1)S_{n-1}=f(n-1)

an=f(n)−f(n−1)an=f(n)−f(n−1)a_n=f(n)-f(n-1)

②换元，对于有根号的情况效果显著

③以后做到了再加进来……

对于以上解决不了的情况

后来又另写了篇博客介绍一种叫生成函数/母函数的工具

可以在更大范围内解决从递推式到通项公式的问题

这个工具可解决的式子包括但不限于：

an=Aan−1+Ban−2+C⋅Dnan=Aan−1+Ban−2+C⋅Dna_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}+C\cdot D^n
an=Aan−1+Ban−2+(C+n)⋅Dnan=Aan−1+Ban−2+(C+n)⋅Dna_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}+(C+n)\cdot D^n
an=Aan−1+Ban−2+C⋅sin(D⋅nπ)an=Aan−1+Ban−2+C⋅sin⁡(D⋅nπ)a_n=Aa_{n-1}+Ba_{n-2}+C\cdot \sin {(D\cdot n\pi)}
……

结尾瞎扯

如果能在题目中使用到这些技巧，往往会更接近正解或将复杂度降低许多

目前还没有做到这样不能解的题，以后做到再补……