母函数求递推的通项公式（一）

总是看到有人问递推的通项公式如何求，母函数（Generating function）是一个很好用的工具，

现总结如下以供学习

母函数是组合数学里面的概念，其实就是这坨东西

是不是看不明白，确实有些生疏，再看这一坨

恍然大悟，这不就是久负盛名的数列求和公式么！既然如此，看看它是如何应用于通项公式的

首先来看看如下的二阶齐次递推公式

f(n) = af(n-1)+bf(n-2) ------------------------------ (1)

(1)式可通过有名的差错法来求，将f(n)作为a(k),构造

G(x) = ∑f(n)*x^n

展开G(x) = f(0) + f(1)*x + f(2)*x^2 + f(3)*x^3.....

-G(x) = -f(0) - f(1)*x - f(2)*x^2 - f(3)*x^3.....

a*x*G(x) = f(0)*a*x + f(1)*x^2*a + f(3)*x^3*a......

b*x^2*G(x) = f(0)*x^2*b + f(2)*x^3*b..........

3式相加得

( b*x^2 + a*x - 1 )*G(x) = -f(0) + ( f(0)*a - f(1) ) *x

G(x) = (-f(0) + ( f(0)*a - f(1) ) *x) / ( b*x^2 + a*x - 1 )

这里的b*x^2 + a*x - 1 = c(x) 也被称为特征方程，将分母拆分

G(x) = A/1-r1*x + B/1-r2*x，r1，r2为b*x^2 + a*x - 1 = 0 的两根，使用待定系数法可求出A,B

这里就可以利用母函数得

G(x) = A*∑(r1*x)^n + B*∑(r2*x)^n

既得

f(n) = A*r1^n + B*r2^n ----------------------------------------------(2)

似乎是万事大吉了，不过还没有，

当r1 = r2 = r 时

G(x) = A/1-r*x + B/(1-r*x)^2

则得

G(x) = A*∑(r*x)^n + B*∑(n+1)(r*x)^n

f(n) = A*r^n + B*(n+1)r^n ------------------------------------------(3)

(2)，(3)即为所求解

其中A =( f(0)*a - f(1) - f(0)*r1) / ( r1 - r2 )

B = ( f(0)*r2 + f(1) - f(0)*a)/ ( r1 - r2 )

本文主要主要关注的是二阶齐次递推公式，而母函数是应用很广的概念，如果有兴趣可进一步参见组合数学相关的教材

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