1.1 函数

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则。起始对象称为输入，来自称为定义域的集合。返回的对象称为输出，来自称为上域的集合。

1.一个函数必须给每一个有效的输入指定唯一的输出
2.上域是可能输出的集合，而值域是实际输出的集合。

1.1.1 区间表示法

小括号为开中括号为闭，混合的为半开

1.1.2 求定义域

主要注意三点：
1.分母不能为0
2.不能取负数的平方根
3.不能取非正数的对数

1.1.3 利用图像求值域

在定义域内，函数在y轴上的投影范围即为值域

1.1.4 垂线检验

对于一个函数，每一个x值至多对应一个y值。因此，对于实函数，一条垂直于x轴的直线（x=k）与一个函数的图像至多有1个交点。如不然，则说明其并非函数的图像。

1.2 反函数

设函数y=f(x)的定义域是D，值域是f(D)。如果对于值域f(D)中的每一个y，在D中有且只有一个x使得g(y)=x，则按此对应法则得到了一个定义在f(D)上的函数，并把该函数称为函数y=f(x)的反函数，记为

x=f−1(y),y∈f(D)x = f^{-1}(y), y\in f(D)x=f−1(y),y∈f(D)

1.2.1 水平线检验

如果一条水平线和一个函数的图像至多相交一次，那么这个函数就有一个反函数

1.2.2 求逆

除了直接运算，也可以以函数y=x为对称轴，画出反函数

1.2.3 限制定义域

当水平线检验失败并且没有反函数时，只保留一个x值。

1.2.4 反函数的反函数

如果f有反函数f^-1，那么
对于f值域中的所有y，反函数的反函数等于自身，即f(f^-1(y)) = y，但是
f(f^-1(x)) = x可能不成立，事实上，当x在限制的定义域中才成立。

1.3 函数的复合

这个没啥好说的

1.4 奇函数和偶函数

偶函数的图像关于y轴具有对称性
奇函数的图像关于原点具有180°的点对称性

1.5 线性函数的图像

1.6 常见函数及其图像

1.多项式
以f(x) = 5x⁴- 4x³ +10为例
基本项xⁿ的倍数叫做xⁿ的系数。最大的幂指数n(该项系数不能为0)叫做多项式的度数.上述多项式的度数为4.下图为x⁰到x⁷的图像。
最大度数的系数叫主导系数。主导系数可以帮助判断多项式最左端和最右端的走势。
如下图：

度数为2的多项式又叫二次函数。判别式的表达式为
∇=b2−4ac\nabla = b^2 - 4ac∇=b2−4ac
当 ∇\nabla∇ < 0,在实数范围内无解。对于前两种情况解为：
−b±b2−4ac2a\frac {-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a}2a−b±b2−4ac
二项函数一个重要的技能是配方，这个大家都会

2.有理函数
p(x)q(x)\dfrac{p(x)}{q(x)}q(x)p(x) 这种形式的函数即为有理函数
最简单的有理数是多项式本身，即q(x)为1的有理函数，另一个简单的例子是1/xⁿ，其中n为正整数。下面是常见的一些有理函数的图像

3.指数函数和对数函数
y = b^x(b > 1)的图像与上图很类似。左端的水平渐近线为x轴。y = 2^-x与y = 2^x关于有轴对称，如图1-18所示

由于y = 2^x满足水平线检验，所以该函数有反函数，这个反函数就是以2为底的对数y=lg⁡2(x)y = \lg_2(x)y=lg2(x)。以直线y=x为对称轴，y=lg⁡2(x)y = \lg_2(x)y=lg2(x)如图1-19所示。

4.三角函数下章做介绍
5.带有绝对值的函数

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《普林斯顿微积分读本》第一章：函数、图像和直线

1.1 函数

1.1.1 区间表示法

1.1.2 求定义域

1.1.3 利用图像求值域

1.1.4 垂线检验

1.2 反函数

1.2.1 水平线检验

1.2.2 求逆

1.2.3 限制定义域

1.2.4 反函数的反函数

1.3 函数的复合

1.4 奇函数和偶函数

1.5 线性函数的图像

1.6 常见函数及其图像

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