普林斯顿微积分读本——第二章三角学回顾(读书笔记)

2024-06-04 09:16:45

基本知识
扩展三角函数定义域
三角函数的图像
三角恒等式
- 和角公式
- 倍角公式

基本知识

旋转一周，我们说成2π2\pi弧度而不是360° 。
弧度和度的转换可以看出是一种单位的转换，就像公里和英里的转换一样。

sin(θ)=对边斜边，cos(θ)=邻边斜边，tan(θ)=对边邻边

sin(\theta)={对边 \over 斜边}，cos(\theta)={邻边 \over 斜边}，tan(\theta)={对边 \over 邻边}

csc(x)=1sin(x),sec(x)=1cos(x),cot(x)=1tan(x)

csc(x)={1 \over sin(x)},sec(x)={1 \over cos(x)},cot(x)={1 \over tan(x)}
常用三角函数值，必须会背

-	0	π6\pi \over 6	π4\pi \over 4	π3\pi \over 3	π2\pi \over 2
sin	0	121\over2	12√1\over{\sqrt2}	3√2{\sqrt3}\over2	1
cos	1	3√2{\sqrt3}\over2	12√1\over{\sqrt2}	121\over2	0
tan	0	13√1\over{\sqrt3}	1	3√\sqrt3	≠

扩展三角函数定义域

对于角度而言，0和2π2\pi是等价的。
ASTC：“A”代表“全部”，意味着所有的函数在第一象限均为正。其余的字母分别代表正弦、正切和余弦分别在第二象限、第三象限、第四象限为正，其余都为负。

三角函数的图像

正弦、余弦、正切的函数图像都是周期的。

sin(x)、tan(x)、cot(x)、csc(x)都是x的奇函数。

sin(x)、tan(x)、cot(x)、csc(x)都是x的奇函数。

cos(x)、sec(x)都是x的偶函数。

cos(x)、sec(x)都是x的偶函数。

三角恒等式

毕达哥拉斯定理：cos2(x)+sin2(x)=1

毕达哥拉斯定理：cos^2(x)+sin^2(x)=1

1+tan2(x)=sec2(x)

1+tan^2(x)=sec^2(x)

cot2(x)+1=csc2(x)

cot^2(x)+1=csc^2(x)
“co”开头的，表示“互余”，说两个角互余，意味着它们的和是 π2\pi \over 2(或90°)，即：

三角函数(x)=co−三角函数(π2−x)

三角函数(x)=co-三角函数{({\pi \over 2}-x)}
特别的有：

sin(x)=cos(π2−x),tan(x)=cot(π2−x),sec(x)=csc(π2−x)

sin(x)=cos{({\pi \over 2}-x)},tan(x)=cot{({\pi \over 2}-x)},sec(x)=csc{({\pi \over 2}-x)}

cos(x)=sin(π2−x),cot(x)=tan(π2−x),csc(x)=sec(π2−x)

cos(x)=sin{({\pi \over 2}-x)},cot(x)=tan{({\pi \over 2}-x)},csc(x)=sec{({\pi \over 2}-x)}

和角公式

sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)

sin(A+B)=sin(A)cos(B)+cos(A)sin(B)

cos(A+B)=cos(A)cos(B)−sin(A)sin(B)

cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B)

倍角公式

sin(2x)=2sin(x)cos(x)

sin(2x)=2sin(x)cos(x)

cos(2x)=2cos2(x)−1=1−2sin2(x)

cos(2x)=2cos^2(x)-1=1-2sin^2(x)

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