前言：儿子的学习，包括数学和科学、英语，一直是由学外语出身的老婆在辅导，今年初一暑假，7月初，儿子考上了深国交，看到A Level数学的课程，明年的数学课本就有微积分的内容了。我觉得很多微积分的课本，尤其是回忆自己以前学的高等数学，感觉这些课本，写的并不好。对毕业于一所非著名一般性重点工科大学计算机系毕业的我来说，还是要发挥自己作为父亲和工科出身的价值，因此，想自己整理资料，写一份微积分教材。这份教材，同样可以适用于国内的高中生和大学生(主要是大学)。BTW，和传统课本相比，我们做过学生，知道学生的困惑，而且为了不那么严肃，本文写作风格，采用口水稿的形式，也是我们的特色。差不多一年的时间，希望可以写完。更主要的是，希望发出来，能看到更多网友的意见，听听大家的意见，更好地完善。里面的数学符号，可能会有些变形，我尽量做好。

第一章 微积分漫谈

每个人小时候，都是一个好奇宝宝，总有那么多的为什么要问，经常把父母问的张口结舌。当我们长大一点，这种好奇心，其实也并没有消失，只不过是在成长的过程中被压抑了，在课堂上，可能仍然会有这样的疑问，为什么这样？为什么会有这个东西？为什么…

遗憾的是，我们中国的老师，未必会喜欢这样的好奇学生：你老这样问为什么，我还有没有时间讲课了？你听着就是了，我怎么讲，你就怎么听。

而且，我们中国的教科书，是以结果和希望灌输的内容来进行讲解的，上来就是一堆抽象的概念，很难使学生理解，为什么会有这样的一个东西？每个知识点，都是为了解决什么问题而产生的，存在意义是什？能用来干什么？

比如上大学时，我们在学习高等数学或者微积分时，一直有这样的困惑：

• 我们的高等数学教科书，不是讲微积分的吗，为什么一上来就讲数列的极限？这个时候，我连微积分到底是啥，都没有搞清楚啊，这个极限和微积分是啥关系啊？
• 微分和积分到底是啥？他们的核心思想是什么，他们到底有啥用？
• 微积分到底是怎么产生的，是为了解决什么问题？难道他们是数学家们闭门造车，凭空臆想出来的吗？

教科书如果变成定理和公式的堆积，或者公式的大辞典，那就很难让学生理解数学不断进化的过程，更主要的是，很难激起学生对数学的兴趣。

所以，很多中国的孩子，很多会抱怨说，高等数学/微积分很无趣啊，我们的课本，看起来很无聊啊，都是一堆堆让人眼晕的数学定理的堆砌，对了，还外带习题集，既不知来龙(为什么会有这个东西，是解决什么问题产生的，怎么来的)，也不知去脉(有什么用，能用来干什么，你总不能告诉我是做题吧？)，又写的干干巴巴，看起来味同嚼蜡，听起来又不容易懂，你怎么让我们提起什么兴趣来呢？学不好，真不怪我们啊。

事实上，数学家们发明了一个又一个的理论，不是为了成为教科书上干干巴巴的一条条定理，而是为了解决实际存在的问题的。理解数学家们当时面临的问题，他们的解决办法，自然也就知道了这个理论的存在意义和价值，更容易理解对应的数学理论。

比如几何是数学最早的领域，起源于古埃及，是为了解决测量等实际问题而产生的。具体的，对于中国学生耳熟能详的勾股定理，我们上初中时就知道了勾三股四玄五，然后我们就记住了a^2+b^2=c2，但是埃及人很早就拿来干活了。比如修建建筑过程中，需要各个方向垂线，向下的垂线好说，拿个线，吊个铅锤啊砖头石块的问题就可以了，可是，其他方向的垂线怎么办？吊铅锤没用啊，做一把极其大的三角尺？

埃及人的做法是，找一根长绳子，然后在整个绳子上做十二分等长的标记，标记出各个点为0，1，2，3，4...11，首尾连接成环。先把0点固定好，然后另一个人牵动4号结，把绳子拉直使之成为一条直线，第三个人找到标记为9号的点，将绳子拉直，那么从0号到4号的绳子，垂直于0号到9号的绳子。[清华大学，数据结构，邓俊辉， P23-P24]

劳动人民的创造力，真的是很厉害的。再如，我国古代农民丈量土地面积，土地如果是不规则的怎么办？你以为他们都是数学家吗，按照什么周髀算经去计算吗？或者请个数学家来帮助他们丈量土地？负责丈量土地的人，是不懂复杂的数学公式的，他们只会基本的矩形面积公式，在实际工作中，他们会使用叉尺，对于不规则的土地，先尽可能找出一块规则的，好计算的部分，快速量好，然后把剩下的土地分割成一个个小方块，然后累加起来，边角地带，可以分割求补，最后得出基本准确的土地面积。仔细想想这个过程，这个分割土地成为一个个小方块然后累加起来的思路，除了方块的个头大一点，其实，还是蛮符合积分思想的。

所以微积分的产生，也不例外。人类在长期的生产活动和科学研究中，遇到了两大类问题都很棘手：求曲线的切线和求曲线围成图形的面积，正是由于对这两类问题的研究，才导致了微积分的诞生。

(一)微积分是什么？

微积分是微分和积分的统称。有人总结：微分就是无限细分，积分就是无限求和。

比如牛顿在研究苹果落地过程，从第二秒到第四秒，苹果掉落的距离△S除以两秒的时间间隔△t，就是这两秒内苹果的平均速度，但是如果缩短△t，从两秒变化到无穷小的时间间隔，那么这个平均速度就变成了瞬时速度，这个瞬时速度，就是微分的概念，而苹果在每个瞬间所掉落的路程之和，就是积分的概念。

随着生产力的发展，物理、天文以及几何，提出了一些重要问题需要解决，微积分的诞生主要来自四个方面的问题：

• 求曲线的长度，曲线围成的面积，曲线包围的物体的体积，物体的重心，统称为求积问题。例如求行星的运动轨迹。
• 求曲线的切线 (微分学问题)。为什么需要研究曲线的切线？是因为17世纪的数学家，遇到了三类问题，实质上都是求曲线的切线：

1. 光的反射问题。透镜的设计者要研究光线透过透镜的通道，必须知道知道光线的入射角度，获得透镜曲面上任意一点的切线和法线。比如光在平面上，入射角等与反射角，在圆弧上，入射光和反射光，与圆弧的切线所成角相等，那么对于其他曲线呢，光线的反射，必须要求出曲线的切线；光学中的反射和折射，其实就是求切线和法线问题。
2. 曲线运动的速度问题。对于直线运动，速度与位移方向相同或者相反。要确定，曲线运动的速度和方向，必须求出切线；
3. 曲线的交角问题。如何求两条曲线相交所构成的角，需要确定曲线在交点处的切线。

• 物理学的求运动物体的即时速度和路程。已知变速运动的路程为时间的函数，求瞬时速度与加速度，或者相反，困难在于速度和加速度每时每刻都在发生变化。(前面一半为微分学问题，求路程为积分学问题)
• 求一些问题的极大值和极小值 (微分学问题)，例如行星的近日点和远日点的计算，弹道学中涉及炮弹的最大射程问题。

纵观微积分的发展过程，数学家总是围绕着几个关键词：无穷、无穷分割、极限，在开展研究，而他们的反对者们，包括其他数学家，诡辩专家，传教士(是不是很奇怪，关他们什么事情？事实上，真的相关啊)也围绕着这些关键词，对微积分的不同阶段的开拓者们展开批判，微积分的就是在这样的研究，提出相关理论，被批判，完善这样的过程中完成了诞生和进化。

(二)微积分令人目瞪口呆的史前时代，被压抑的无穷小和可能是个宝藏的芝诺悖论

无穷，是无尽的，不可数的，简单地说是有限性的反义词，不只是无穷大，无穷也往往离不开无穷小。早期包含了无穷，无穷分割和极限的经典例子，是公元前5世纪，古希腊诡辩专家芝诺的阿基里斯追龟等悖论。

古希腊关于物的本质，分为对立的两派，一派是一元论，称为巴门尼德派，认为存在之物是不可分的，一切变化都是幻觉；另一派是多元论，称为德谟克利特派，认为物质是可分的，最后到原子不可再分。两派主要纠结于时间、空间、长度是否无限可分，因而经常辩论打嘴仗。芝诺作为掌门老师巴门尼德最钟爱的学生，为了本门派的荣光，要压倒德谟克利特派，精心制造了几个矛盾，提出了两分法，阿基里斯追龟，飞矢不动等著名的悖论。芝诺的悖论都类似，就是如果你承认无限可分，按照当前的已知知识，那你就会发现结果是比较荒谬的，明显违背常识，也和事实不符，但是，你又找不到办法去驳倒芝诺，简直气死个人。

让我们看一下阿基里斯追龟悖论：乌龟在阿基里斯前面1000米处开始，和阿基里斯赛跑，并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍。当比赛开始后，若阿基里斯跑了1000米，设所用的时间为t，此时乌龟便领先他100米；当阿基里斯跑完下一个100米时，他所用的时间为t/10，乌龟仍然前于他10米；当阿基里斯跑完下一个10米时，他所用的时间为t/100，乌龟仍然前于他1米…… 芝诺认为，阿基里斯能够继续逼近乌龟，但决不可能追上它。

如果是你，和芝诺面对面辩论，你会怎么办？说什么？如果你说搞个毛线，阿基里斯和乌龟同样的方向，又比乌龟快，怎么可能追不上乌龟？这是违背常识的好不好？那么，你并不是在讨论数学问题。

以讨论数学问题的方式，和芝诺进行辩论，是什么样子？

如果你是中国小学的小学生，会说：啊，我们学过，追及问题，同向而行，一个速度快一个速度慢，肯定能追上啊。两个人的速度差为，咦，怎么没有具体速度呢，这可让我咋套公式呢，芝诺，你先等等，让我想一下如何计算阿基里斯追上乌龟的时间…

如果你是中国的初中生，你可能会说，让我用函数和解方程组来对付你吧，阿基里斯和乌龟的运动可以被看成两个一次函数，芝诺，让我们来画个图吧，喏，一次函数是一条直线。说到画个函数图像，你不得不感谢法国数学家笛卡尔，笛卡尔坐标系。法国著名数学家笛卡尔的成就之一，就是将一次函数移到坐标图上，最终表明一次函数的线性性质。在笛卡尔之前，一次函数只存在于数学家们的想象之中，谁都没有用几何图形表示出来，笛卡尔的这一研究实际上是把代数学和几何学撮合到了一起【P53-54 牛顿教你学微分，金承泰】

这样你就可以对芝诺说，看，在我的笛卡尔坐标系中，阿基里斯的运动函数图像和乌龟的函数图像都是一条直线，他们的交点就是阿基里斯追上乌龟的那一刻，联立两个一次函数，解方程即可。

或许芝诺不会对和你辩论的胜负感兴趣，他可能会对你的笛卡尔坐标系叹为观止，大呼：神器啊，天赐我也。或许，看到笛卡尔坐标系，芝诺能开发出更多新的悖论？估计那样的话，芝诺的新悖论，就没有办法由亚里士多德来记录并批判了，而是由你来记录了。

如果你是高中生，你可能会说，芝诺同学，我们可以得出如下的结论：

1. 你提到的t，其实，并不是一个恒定值，这是你犯的第一个错误，设第一段t1是阿基里斯跑1000米的距离，那么第二个t2，只是阿基里斯跑100米的距离，t2=0.1 t1，同理t3等于0.1t2….. t1，t2，t3，t4….tn是一个以0.1为公比的等比数列，且tn收敛；

2. 同理，每段t对应的s，也不是一个恒定值，设第一段s1，距离是1000米，第二段为s2=100米，s3=10米，s4=1米，s5=0.1米…..，那么

所以，这其实是两个收敛的无穷级数求和问题，这两个无穷级数和，T=t1+t2+t3+t4….+tn，S= s1+s2+s3+s4….+sn，都是一个常数，阿基里斯只是在T之前追不上乌龟，芝诺你将一段有限时间，进行了收敛的无穷分割。翻车了啊，你这样是不对的。

如果你是一个学过微积分的大学生，估计你都懒得动笔，口算即可，芝诺同学，你的阿基里斯追龟，混淆了无穷和无穷分割的概念，无限可分并不一定等于无穷大，人追乌龟经过的路虽然无限可分，但是长度确实有限的，所以人仍然可以在有限的时间内走完这一段路程。而且，bala bala的大道理，能像大话西游的唐僧一样，让芝诺痛不欲生。

芝诺的另一个悖论，两分法：正在行走的人从A地出发，要走到X地。首先，他必须通过标有1/2的B点，这刚好是A——X的中心点。然后，他又得经过标有3/4的C点，这是B——X的中心点。接着，从C点出发，在到X之前他仍要经过一个中心点，即标有7/8的D点。从D点出发，他仍然得经过D——X的中心点E……，由此类推下去，无论离X的距离有多么接近，他都得先经过一个个地中心点。然而，这些中心点是无止境的，哪怕是微乎其微的距离，也总还有一个地方是这段距离的中心点。正因为中心点是走不完的，所以那个行走的人虽然离终点越来越近，但他始终无法到达终点。

芝诺的本意就是想说，运动是不可能的。但是，你绝对可以从A地到B地，他其实是把1分解成了无穷级数1/2+ (1/2)^2+...+(1/2)^n+....(请大家将就一下，头条的编辑器，毕竟不是word，我在word文档里面写的是分数形式，还有乘方，在这里无法展现)

这两个悖论都是很有趣的问题。这里面藏着什么？小学生，初中生，高中生，大学生看到的是不同的。比如阿基里斯追龟，小学生看到了追及问题，高中生可能看到了收敛的数列，数列求和，极限，大学生可能看到了极限，无穷级数求和，收敛与发散，无穷分割。。。。隐隐约约，似乎可以说，似乎还有一点无穷小量的影子？

可惜，那时候还没有无穷级数求和的办法，对于上面的几何级数(等比数列)的和，亚里士多德只是觉得可能是个有限值(而现在，一个中学生都会计算等比数列的和)。直到14世纪奥雷姆针对几何级数(等比数列)的求和，明确几何级数有两种可能，公比大于1，无穷几何级数有无穷和，当公比小于等于1，有有限和，奥雷姆还证明了当无穷级数项的值，不是按照比例减小时，其和也可以使无穷，调和级数就是一个这样的例子(就是1+1/2+1/3+…+1/n+…，是发散的无穷大，这是很厉害的，要知道后来作为微积分的发明者莱布尼茨，一开始也以为这个调和级数是有限值，后来才意识到自己搞错了，欧拉摆平了这个无穷级数求和，并发现了欧拉常数)。所以，真不怪亚里士多德啊。

所以，当时亚里士多德辩不过芝诺(事实上芝诺悖论，困扰了人们1000年左右)，就采用耍赖的方式，说没有人能够把空间分割成数目无限的部分，强行关闭了讨论，但是，他并没有驳倒芝诺。

这样也能行？还行吧，一是由于亚里士多德的学术地位太高，属于大咖，而且是占据统治地位的大学阀，二更主要是宗教原因(无限性和神性几乎是一致的，专属的，伽利略因为仰望星空，用望远镜观察了月亮，动摇了神权，在软禁中含冤去世。其后的数学家，也不乏因为涉足无穷领域，差一点被害死的例子)，使得后续很多著名数学家，包括欧几里得，阿基米德，都努力避免提及无穷小量，哪怕他们解决问题的过程中实际使用了无穷小量，但也不会明确提及无穷小量，无穷小量也从此成为雷区，大家都不太愿意触及。当然，也有无穷小量很难给出精准的定义有关(包括牛顿和莱布尼茨，也没有办法给出)，说不清楚，都只是叙述性描述，不是数学上的严谨定义，一提出来，必然被大家批判，不提，大概也是为了减少争议。

其实，芝诺的悖论还是真值得仔细研究，他只是理解错了无穷和无穷分割，如果仔细研究的话，可能会发现很多有价值的东西，比如无穷级数求和，无穷分割，无穷小…如果能摆平芝诺，可能提前1000多年发现微积分。

芝诺悖论，是一个混淆了无限可分和无穷的典型案例。当然，也不是大家都会混淆。那让我们响应号召，增加些正能量，说点正面的案例吧。

(三)以无限求和作为目的的积分，其实比微分产生的更早，从阿基米德的弓形求积到费马的无穷小量求积，是牛顿和莱布尼茨微积分的前奏…

下面我们要谈到安提丰和欧多克索斯的穷竭法，以及阿基米德。事实上，积分诞生的初衷，是为了求得图形内部的面积。

古希腊的数学家安提丰，试图解决古希腊尺规作图的三大难题之一 –化圆为方时，提出了在求解圆面积的时候，先在圆内部做一个内接正多边形，然后成倍扩大，得到另外一个新的圆内接正多边形，继续此程序，成倍扩大边数，则圆与内接正多边形的面积之差，会越来越小，大到一定程度，内接正多边形与圆弧基本一致了，圆的面积被穷竭了。通过求解求正多边形的面积来近似替代圆的面积。

欧多克索斯在安提丰的基础上做了很多改进，安提丰的思想更多是建立在几何直观感受的基础上，欧多克索斯则建立了严谨的穷竭法(the method of exhaustion)，并用它证明了一些重要的求积定理，比如“棱锥体积是同底同高的棱柱体积的三分之一”和“圆锥体积是同底同高的圆柱体积的三分之一”这两个定理是欧多克索斯首先予以证明的。

欧多克索斯没有什么著作流传下来，只能从欧几里得的几何原本中看到一些零散的记录。他的穷竭法可以看做是微积分的第一步，但没有明确地用极限概念，也回避了“无穷小”概念。除了穷竭法，欧多克索斯还发展了比例理论，后来19世纪的戴德金分割(在漫谈部分，不适合详细展开，因为这部分，我们主要介绍微积分的基本思想)，实际上就是欧多克索斯比例理论的算术化提法，戴德金遵循了欧多克索斯的思想定义了无理数，从而为实数体系的建立奠定了基础，而在牛顿和莱布尼茨建立的微积分，好用是好用，也挖了两个大坑(后面介绍)，为了填平这两个大坑，达朗贝尔和柯西等数学家认识到，必须把极限作为微积分的基础，后来19世纪发展极限时，波尔查诺，维尔斯特拉斯等人而又是把极限建立在实数理论体系之上的，所以，可见欧多克索斯对微积分的贡献。

阿基米德，又把欧多克索斯的方法发扬光大，穷竭法应用的可以说是出神入化。为了更好地理解穷竭法，让我们来看看一个例子：阿基米德在求抛物线的弓形面积时，就是利用无穷分割的手法，把弓形面积分割为无穷多个三角形面积之和。

抛物线f(x)=lx^2+mx+n (不失一般性，假设l>0)，在抛物线上任意选定A，B两点，过着两点的弦和抛物线的弧围成一个抛物线弓形，求抛物线弓形的面积。

阿基米德的做法是：以弦AB为底，做抛物线的一个内接三角形，这个三角形的第三个顶点，采用过弦AB的中点平行于抛物线的中轴线，与抛物线相交的C，得到第一个层内接△ABC，记其面积为A1，这样又出现了两个新的弓形(弦AC和抛物线构成的弓形，还有弦BC和抛物线构成的弓形)，采用同样的步骤，再做出两个新的内接三角形，△ACD和△BCE，记此次两个二级内接形面积的和(S△ACD+S△BCE)为A2，第三次则有2^2个三级内接三角形，记其面积和为A3，第n次共有2n-1个n级内接三角形，记其面积和为An。

很显然，弓形面积等于所有三角形面积的和，当时还没有无穷级数的求和公式，阿基米德采用了一种比较繁琐的方法，证明了S弓形面积=4/3 *A1。如果按照现代学生容易理解的方式，应该是：

显然弓形面积S=A1+A2+A3+A4+…+An

A1 =S△ABC=S梯形abBA-S梯形acAC-S梯形cbCB

=l/2 *1/4 * (b-a)3

= l/2* |a-b| * |b-c| *|c-a|

A2 = S△ADC + S△CEB

= l/2* 1/4 * (b-a)^3 *1/4

= 1/4 * A1

同样，A3= 1/4* A2

A4= 1/4 * A3

An=1/4 * An-1

S=A1+A2+A3+A4+…+An=A1[1+1/4+(1/4)^2+...]= 4/3 * A1 = l/6* (b-a)^3 [抛物线弓形面积的求法，陈伟侯，数学通报，1999年第10期，P23-P24]

可见，阿基米德在求抛物线弓形面积的穷竭法，其实是在用内接三角形填满弓形。所以，通过这个例子，这下你该知道什么叫穷竭法了吧。

类似的，我国的刘徽，采用割圆术，利用正N边形去逼近圆的面积，割之弥细，所算弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。无论是阿基米德的用三角形去穷竭弓形面积，还是我国的刘徽，用正N边形去穷竭圆的面积，事实上，都隐藏着无穷小量。

所以，穷竭法看起来比较麻烦，要求技巧比较高，首先找到合适的图形去填充或者逼近所求的图形面积，感觉就像在一个不规则的客厅里铺地砖，首先你要绞尽脑汁挑选合适的地砖形状，然后再想怎么去铺满客厅….真的是烧脑啊。

由于穷竭法繁琐笨拙，后来渐渐被人遗忘、直到16世纪才又被重视。文艺复兴时期，伽利略、开普勒等科学家要研究运动，研究物体在无限可分的时间和空间里面的运动，无穷小才回到了视线之内。由于约翰尼斯.开普勒在探索行星运动规律时，遇到了如何确定椭圆形面积和椭圆弧长的问题，无穷小的概念被引入并代替了繁琐的穷竭法。尽管这种方法并不完善，但却为费马等数学家提供了一个思考空间，大家直接尝试用无穷小去覆盖所求图形的面积。

相比阿基米德奇思妙想的以三角形填充弓形面积，法国大数学家费马在17世纪所采用的思路，看起来更接近我们现代人的审美和习惯。费马在讨论抛物线y=xn的面积时，是以等距离的纵坐标，把面积分成窄长条，然后求和式的极限。(这个图，我先不附了)

北师大数学分析课程录像，刘继志老师讲课时讲到的其实就是这个例子。抛物线f(x)=x2，求其与x轴，以及直线x=1所围成的曲边三角形的面积。

将[0, 1]分成n等分，在x轴上的坐标分别为0，1/n，2/n，3/n，...n-1/n，1，从每个点做垂线，交抛物线与各点，形成宽度为小矩形的高，取右端点的高，矩形的高为(i/n)^2。

则整个曲边三角形的面积为：

当n->∞时，可以得知，曲边三角形的面积为1/3.

可见，无论是阿基米德和费马的操作，无穷级数求和，都可以说是积分求和中的基操。通常积分的求和的对象，是很多个很小的，一个定宽(后来微积分中的dx)的很小的长方形面积，而长方形的高度，则通过函数本身的表达式f(x)计算出来，而整个运算，就是要把这样无穷多个无穷小量加在一起进行求和取极限，这也是为什么积分被概括为无限求和的原因。

在求面积时，卡瓦列里原理，是个很有趣儿的原理：

1. 当两个平面图形位于两条平行线之间，并在这两条平行线之间再画一条与之平行的直线时，如果被这条直线切断的平面图形的两个线段之长相同，那么这两个图形的面积也相同。

2. 两个立体处于两个平行平面之间，在这两个平行平面之间作任意平行于这两个平面的平面，如果它们被立体所截得的面积相等，则这两个立体的体积相等。

在车荣旭的黎曼教你学积分(1)中(P123-P133)，谈到了这个有趣的例子，在同一块草坪上，有两个方案修建小路，一条弯的(竖线宽度为1米)，另一条是直的，宽度一米，问哪个方案草坪面积大？眼睛可以欺骗你，但是，数学无法欺骗你。

面积可以求了，体积自然不是难事。因为体积可以被看成是横截面面积之和，开普勒就是这么干的，把酒桶切成一个个薄片，开普勒在1615 年撰写了《求酒桶体积之新法》。

所以，积分真实的精髓，概括起来就是：先无穷分割，分割之后再累加，然后求极限。以无限求和为基本思想的积分，事实上是早于微分的。

四)微分的出现，千呼万唤始出来

直到十七世纪中叶，人们仍然认为微分和积分是两个独立的概念。

随着航运和天文学的发展，曲线求切线问题的重要性日益突出，导致求切线问题从16世纪以后，几乎吸引了所有的数学家的目光。笛卡尔曾经说，求曲线的切线问题，不但是我所知道的最有用，最一般的问题，而且甚至可以说，是我唯一想要在几何学里知道的问题。笛卡尔利用坐标系，通过代数演绎的方法，求得了一些高次抛物线的切线，但对更一般曲线的切线，还是没有什么办法。

更一般曲线的切线求法，是法国数学家费马给出的。在牛顿出生的13年前(也就是莱布尼茨出生17年前)，费马想出了求曲线切线的一般性解法，简单地说，就是从割线到切线。

要求曲线上任何一点P，过P(x,y)的切线，可以先取曲线上另外一点Q，设Q的坐标为(x+a，y+b)，可以看到弦PQ的斜率为b/a，让Q慢慢靠近P，当Q无限靠近P，也就是当a趋近于0时，b/a的极限值就是切线(这也是后世学生们熟知的微分三角形)。

费马这个求切线的方法，和后来的莱布尼茨的方式是一模一样的，和牛顿的方法本质上，也还是一样的。但我不是数学系的，更没学过数学史，所以不知道莱布尼茨和牛顿是否看过费马的方法，也不知道费马是否发表过求切线和求极值的方法(费马是个淡泊名利的业余数学家，众所周知之，他老人家有怪癖，连费马大定理都写在书页夹缝中，说放不下了，未必喜欢发表)。即使看过，也没有关系，因为牛顿和莱布尼茨的微积分的内容，远远不止一个求切线的思路，而且费马缺少牛顿和莱布尼茨都有一个的利器—二项式定理，而作为二项式定理的整数形式的帕斯卡三角形的发现，是在1654年(帕斯卡三角形，比我国杨辉三角要晚将近400年)，所以按照道理，费马在当时，是没有办法求出通用的微分导数的。而且费马对于一般性求积问题，求曲线长度，仍然没有找到通用的解法。

牛爵士曾经留下了一句名言，我敢说，几乎所有中国的中小学生都看到过(很多时候是贴在教室的墙上，或者走廊里…)“If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants(如果说我比别人看的更远些，那是因为我站在了巨人的肩膀上)”。 你真以为牛爵士是谦虚？至少在微积分的发明上(牛顿关于微分和无穷级数求和，微分和积分可能是互逆，以及微分三角形，很多是受到了他的老师巴罗的启发，再加上前人的输入，当然，这无损于牛爵士的英明，确实厉害)，真不是。要知道，关于微积分的发明，牛爵士和莱布尼茨可是打嘴仗打的激烈无比，反目成仇，导致当时的数学家，都不得不考虑，到底是站牛顿呢还是站莱布尼茨呢？

牛顿在求物体运动速度的过程中发现了微分学。牛顿开创微分学的初衷，是为了寻求变速运动的瞬时速度。位置变化，速度的变化，了解和观察变化的方法就是微分，微分的本质是研究变化率，速度指的是物体位置变化的快慢程度(变化率)，而加速度是速度变化的快慢程度(变化率)。所以，微分非常适用于速度和加速度的计算。

首先，引入了一个平均速度，或者说平均变化率，在时间[a,b]内，可以求得平均变化率为：

在连接a,b两个点构成的微分三角形中，当b无限趋近于a时，△x无限趋近于0，上述△y/△x的平均变化率变成瞬时变化率，成为导数(牛顿成为流数)，导数其实就是x=a处，△y/△x的极限值。

可以说，导数就是在一个点上的切线斜率。牛顿的思路，就是由平均速度过渡到瞬时速度，这个和费马、莱布尼茨的由割线求切线，其实是一回事。求极限的运算，和加减乘除一样，自此也成为微积分中的基本运算，而且是最重要的运算。

在制定求导公式前，牛顿还必须解决一个问题，就是二项式定理。因为牛顿把无穷级数作为微积分的一个主要工具，利用无穷级数可以把复杂的函数转换成无穷级数。以前的帕斯卡三角形，都是利用(1+x)^n-1展开式的系数，来确定(1+x)^n展开式的系数，在帕斯卡三角形中，每一层的都是以1开始，以1结束，每行中的每个数，等于该系数上一行中它肩膀上的两个数的和，牛顿要找的，是不依赖于(1+x)^n-1来展开(1+x)^n的方法。

二项式定理对于微积分很重要。如果没有二项式定理，例如，对于y=xn求导数，你无法得到y’=nx^(n-1)，因为没有二项式定理，即使你知道导数的定义，当你按照导数的定义去计算时，但是你无法将(x+△x)^n这个二项式展开化简，自然也就无法按照导数的定义去计算出极限。

同样，没有二项式定理，e= lim (1+1/n)^n自然也不会出现了。而由y=x^n的各阶导数为基础建立的泰勒公式，以及幂级数理论自然也就难产了。而且，牛顿发现的是广义的二项展开式，(P+PQ)^m/n，不管m/n是整数还是分数，正数还是负数。(具体内容，我们将在后面详细阐述)

广义牛二，其实是可以把二项式化简成为A+Bx+Cx2+Dx3+…的无穷级数，牛顿自豪地写道：这是一种产生无穷级数的简便方法，所有复杂的项都可以简化为一类简单的量，即分子和分母都是简单项的分数的无穷级数，这样将会消除那些其原始形式看起来几乎难以逾越的困难。

所以，牛二是个大杀器，将数学家从不可逾越的难题中解脱出来，是一件功德无量的工具。

幸运的是，牛顿在由于黑死病疫情，剑桥大学关闭18个月之前发现了牛二定理，在躲入自家庄园研究微积分的时候，就有了可用的利器。

牛顿是由物理学上平均速度到瞬时速度，莱布尼茨则是从割线到切线，莱布尼茨是从几何入手。

莱布尼茨认为，函数的导数，实际上是函数曲线的切线梯度，更准确一点说模式在一个点上的切线梯度tanα=f’(a)，又称为微分系数：

则在函数y=f(x)上，过点(a,b)的切线方程和法线方程分别为：

切线方程y-b= f’(a) (x-a)

法线方程y-b= - [1/f'(a) ]*(x-a)

莱布尼茨更乐于分享他的研究成果，历史上第一篇刊载的微积分论文，是莱布尼茨于1684年撰写的，名称叫《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法，它也适用于有理量与无理量以及这种新方法的奇妙类型计算》，不愧是德意志钢铁直男，取的论文名字，都是这么的清新脱俗，真的是…冗长无比，又生又硬，没点耐性，或者肺活量不够，估计连论文名字都读不下来。

等等，莱布尼茨是从几何入手的，没有去计算行星的远日点和近日点之类的，为什么他对极值还这么感兴趣呢？

耳边不由得传来一阵陕北民歌的声音，你晓得天下的黄河，几十几道湾?。。。

是啊，如果在二维平面坐标系内，描述黄河这条的样子，如果你不知道黄河有多少道弯，每道弯的陡峭程度，那画出来的，绝对不是黄河。

类似于描绘黄河的几十道弯，我们要描绘函数的图像，就离不开微分。例如对于二次函数，我们可以很轻松地画出抛物线，但是对于三次函数，四次函数，我们却无法像二次函数那样轻松，然而利用微分，却可以帮助我们勾画函数的图像。因为微分是衡量函数变化的工具，通过微分，可以分析函数的增减状态，这就是极值的作用之一。

因为导数表示函数某一点切线的梯度，所以，如果函数f(x)在某一区间内是可微分的函数，

当f’(x)>0时，f(x)在该区间内递增；

当f’(x)<0时，f(x)在该区间内递减。

若函数f(x)是连续的(指函数当自变量变化很小时，引起的因变量y变化也很小，连续函数在直角坐标系中是一条没有断裂的连续曲线)，在x=a附近，发生了递增->递减的变化，此时在x=a处，f(x)取得极大值；若在x=a附近，发生了递减->递增的变化，f(x)取得极小值。极大值和极小值统称为极值。

很显然，在极值点a处，那么f’(a)=0。但是，反之，则未必成立。另外，如果函数f(x)在x=a的左右两侧，f’(x)的符号不变，函数在x=a处，既不会有极大值，也不会有极小值，因为函数一直在递增或者递减。

对于三次函数f(x)=ax^3+bx^2+cx+d(a≠0)，f’(x)=0的两个根，分别为α、β(α

也就是说，f’(x)有两个根的三次函数，有两个极值点，“拐了两道弯“。

而对于三次函数f(x)=ax3+c，f’(x)=0作为二次函数只有一个根，其图像如图所示，虽然在x=0处，导数为0，但并不是极值点，因为一直处于递增或者递减状态。相当于没有”拐弯”。

所以，如果黄河真的拐了99道弯，相当于有99个极值点，那么最大的可能就是黄河是一个x高达100次的函数。

牛顿是在物体运动中的测速过程中发现的微分，而莱布尼茨，是通过对函数曲线的切线，极大值和极小值观察而发现微分。看起来，牛顿更像我国的工科院院士，莱布尼茨反倒像个中科院院士？(开个玩笑)

微分就是求导，微分的特征，就是将区间切得一细再细，就像一个威力巨大的放大镜，不，准确地应该说是显微镜，它可以把一段曲线放大，观察极其细小的一部分，在微分这个显微镜下，看到的已经不是曲线，而是这一小段的直线。

注意，微分的无限细分和无穷分割不同。比如牛顿为了计算行星轨道，牛顿想到了一个绝妙的办法，这个办法还是无穷分割之后求和：他把轨道分成无数多个小段，通过太阳的重力在这些小段上对行星速度的作用，他就能把这些小段整合成要计算的轨道。整合小段这个过程就是积分，计算得到的结果是惊人的：行星轨道都是椭圆，而太阳正居于两个焦点中的一个。

待续，杯太大，一锅装不下。 下面会介绍牛顿的积分，以及牛顿和莱布尼茨把微积分大厦建起来了，但是挖了俩大坑，第二次数学危机。