普林斯顿微积分读本——第一章函数、图像和直线(读书笔记)

函数
- 区间表示法
- 求定义域
- 垂线检验用于检验一个图像是否是函数的图像
反函数
- 水平线检验检验函数是否有反函数
- 求反函数
- 反函数的反函数
函数的复合
奇函数和偶函数
线性函数的图像
常见函数及其图像
- 多项式
- 有理函数
- 指数函数和对数函数
- 绝对值函数

函数

函数是将一个对象转化为另一个对象的规则。起始对象称为输入，来自成为定义域的集合。返回对象称为输出，来自称为上域的集合。
一个函数必须给每一个有效的输入制定唯一的输出。
值域是所有可能的输出所组成的集合。
值域实际上是上域的一个子集。上域是可能输出的集合，而值域是实际输出的集合。

区间表示法

[a，b]是指从a到b端点间的所有实数，包括a和b,即a<=x<=b.像这种形式表示的区间叫闭区间
(a，b)指介于a和b之间但不包括a和b的所有实数的集合，即a

求定义域

三种常见的情况：
1. 分数的分母不能是零
2. 不能取一个负数的平方根(或四次根，六次根，等等)
3. 不能取一个负数或零的对数

（8，13]{2}，表示大于8并小于等于13并且不等于2的所有实数，反斜杠()表示“不包括”。

垂线检验——用于检验一个图像是否是函数的图像

如果你有某个图像并想知道它是否是函数的图像，你就看看是否任何的垂线和图像相交多余一次。如果多于一次，就说明它不是函数的图像；反之，它就是函数的图像。

反函数

给定一个函数 f f,在ff的值域中选择 y y。在理想状况下，仅有一个x值满足f(x)=yf(x)=y。如果上述情况对于值域中的每一个 y y来说都成立，那么就可以定义一个新的函数，它将逆转变换，从输出yy出发，这个新的函数发现一个且仅有一个输出x满足 f(x)=y f(x)=y。这个新的函数称为f的反函数，并写作 f−1 f^{-1}。

使用数学语言对上述情形的总结：
1. 从一个函数 f f出发，使得对于在ff值域中的任意 y y，都只有唯一的xx值满足 f(x)=y f(x)=y。也就是说，不同的输入对应不同的输出。
2. f−1 f^{-1}的定义域和 f f的值域相同。
3. f−1f^{-1}的值域和 f f的定义域相同。
4. f−1(y)f^{-1}(y)的值域就是满足 f(x)=y f(x)=y的 x x。所以，如果f(x)=yf(x)=y,那么 f−1(y)=x f^{-1}(y)=x。
变换 f−1 f^{-1}就像是f的撤销按钮。

水平线检验——检验函数是否有反函数

如果每一条水平线和一个函数的图像相交至多一次，那么这个函数就有一个反函数。如果多于一次，这个函数就没有反函数。

求反函数

实际上，求解反函数经常是不可能的。
函数与他的反函数的图像是与 y=x y=x直线成反射。

反函数的反函数

如果 f f有反函数，那么对于在ff定义域中的所有 x x，f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x。

对于 f f值域中的所有yy，都有 f(f−1(y))=y f(f^{-1}(y))=y;但是
f−1(f(x)) f^{-1}(f(x))可能不等于 x x;事实上，f−1(f(x))=xf^{-1}(f(x))=x仅当 x x在限制的定义域中才成立。

函数的复合

对于函数f(x)=cos(x2)f(x)=cos(x^2),我们令 g(x)=x2 g(x)=x^2, h(x)=cos(x) h(x)=cos(x),那么 f(x)=h(g(x)) f(x)=h(g(x))，也可表示为 f=h∘g f=h \circ g,这里的圈是复合符号，表示“与……的复合”，即 f f是gg与 h h的复合。

将函数ff和 g(x)=x−a g(x)=x-a(a是常数)进行复合，得到 h(x)=f(x−a) h(x)=f(x-a)。需要注意的是新函数 y=h(x) y=h(x)和函数 y=f(x) y=f(x)的图像是一样的，只不过 y=h(x) y=h(x)的函数图像向右平移了 a a个单位。

奇函数和偶函数

如果对于ff定义域里的所有 x x有f(−x)=f(x)f(-x)=f(x),则 f f是偶函数。
如果对于ff定义域里的所有 x x有f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x),则 f f是奇函数。
f(x)=0f(x)=0是即奇又偶函数，这种函数只有这一个。
一个函数可能是奇函数，也可能是偶函数，也可能非奇非偶。

偶函数的图像关于 y y轴具有镜面对称性。
奇函数的图像关于原点有180° 的点对称性。

两奇函数之积为偶函数，两偶函数之积仍为偶函数，奇函数和偶函数之积为奇函数。

线性函数的图像

形如f(x)=mx+bf(x)=mx+b的函数叫线性函数。它们的图像是直线，直线的斜率是 m m。
点斜式：如果已知直线通过点(x0,y0)(x_0,y_0),斜率为 m m,则它的方程为y−y0=m(x−x0)y-y_0=m(x-x_0)。
求斜率公式：如果一条直线通过点 (x1,y1) (x_1,y_1)和 (x2,y2) (x_2,y_2),则它的斜率等于 y2−y1x2−x1 y_2-y_1 \over x_2-x_1。

常见函数及其图像

多项式

形如： p(x)=anxn+aa−1xa−1+⋯+a2x2+a1x+a0 p(x)=a_nx^n+a_{a-1}x^{a-1}+\cdots+a_2x^2+a_1x+a_0 的式子叫多项式，其中 an a_n为 xn x^n的系数，最大的幂指数 n n(该项系数不能为零)叫做多项式的次数。

多项式的图像左右两端的走势倒是容易判断，这是由最高次数的项的系数决定的，该系数叫做首项系数。

次数为2的多项式，叫二次函数，通常写为 p(x)=ax2+bx+cp(x)=ax^2+bx+c.
通常我们用希腊字母 Δ \Delta来表示判别式 Δ=b2−4ac \Delta=b^2-4ac。它共有三种可能：如果 Δ>0 \Delta>0，有两个不同的解；如果 Δ=0 \Delta=0，只有一个解；如果 Δ<0 \Delta，在实数范围内无解。解为：

−b±b2−4ac−−−−−−−√2a

-b\pm \sqrt{b^2-4ac} \over {2a}
注意该表达式根号下为判别式。
(ax+b)2=a2x2+2ab+b2 (ax+b)^2=a^2x^2+2ab+b^2

有理函数

形如 p(x)q(x) p(x) \over q(x)，其中 p p和qq为多项式的函数，叫做有理函数。

指数函数和对数函数

y=bx(b>1) y=b^x(b>1)。
当 0<b<1 0时， y=(1b)x y=\begin{pmatrix}1 \over b\end{pmatrix}^x与 y=b−x y=b^{-x}函数相等。

绝对值函数

|x−y| |x-y|是数轴上 x x和yy两点间的距离。