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• 引语
• 数域
• 向量空间
• 线性表出
• 线性相关与线性无关
• 小结

引语

高等代数是一门抽象化的学科，他的核心任务，就是把我们以往习以为常的一些数学概念抽象化，提炼出他们的本质，以此来明晰他们的结构与共同的性质。

但是高代又显然不单单是抽象，其实在国外的很多地方尤其是欧美，都是不区分高代和线代的名字的，统一称为线性代数。

为什么呢？

因为高代或者线代其实就是研究线性空间的一门学科，而高代与线代的关系就像数分和高数，所以说，线性空间才是高代的研究主体。

然而包括线性空间衍生出来的一切概念大都是从前没有的，所以要从我们认识的具体物中一件件的抽象，并不断地对这个体系进行丰富与完善，于是众多的概念就成为了很多人头疼代数学的一个原因。

但是，不管怎么样，这些定义与概念大部分都有迹可循的，只要是一直随着主线思考下去，思路也就会变得十分自然。

遗憾的是，很多教材为了叙述方便，硬是将一些东西生搬硬套，凡事不管三七二十一，只要逻辑可证可推也就不管什么思路的来源问题了。

对此，我十分推荐Sheldon Axler的《Linear Algebra Done Right》一书，说来惭愧，这本书我也就翻过寥寥几页（捂脸）。

但是我还是想郑重推荐一下，一方面是因为很多看过这本书的学姐学长都大声叫好，另一方面这本书摒弃了一些传统的做法，直接以线性空间与线性映射为主线展开阐述，思路显得更清晰自然些，这个系列笔记我也会将这本书作为主要教材参考。

好了，废话不多说，现在我们正式开始！

线性空间（Linear Space）

我们说，高等代数主体是研究线性空间的，所以我们的首要任务就是搞清楚所谓的线性空间到底是一个什么东西。

在给出他的定义之前，有兴趣的同学可以看一个我在网上搬来的一篇文章，讲的很透彻，相信大家读过这篇文章可以对线性空间有一个很好的直观上的理解，以下是链接

高等代数研究线性空间的意义是什么呢？

为了更好地理解，我们这里先引入向量空间（线性空间的一类特殊情况），之后将会继续抽象出线性空间的概念进行讨论。

在正式讨论向量空间之前我们先做一些准备工作，首先给出数域的定义。

数域（Number Field）

Def：复数集的一个子集是一个数域

且

显然，这里的条件

有些人可能就会问了，既然可以简化条件，为什么还要写成这样呢？

其实这是为了符合域（也就是数域的推广）的整体定义的形式。

你应该也注意到了，数域的定义其实就相当于对我们通常所说的加减乘除（除数不为0）封闭，而减和除又相当于加和乘的逆运算。

我们正是通过这个来抽象出域的概念的（数域是一个特殊的域），它的定义这里就不给出了，有兴趣的同学可以百度一下，我们之后讲线性空间的时候会重点讨论它的性质。

显然，数域上的加法和乘法满足下列性质

Prop

1.交换律（Commutativity）

2.结合律（Associativity）

3.加法、乘法单位元(Identity)

4.加、乘法逆（AdditiveMutiplicative Inverse）

5.分配律（Distributivity）

向量（Vector）

大家高中都学过平面向量，是（a,b）的形式，实际我们称其为二维向量（你可以将其理解为一个二维的点）。

在这里我们将其稍加推广就可以得到n维向量

R上的数）

我们知道，数域K中的元素都是一个数的形式，如果此时的K=R的话，那么他的元素就全在我们通常所说的数轴上，这些数组合在一起成为一个集合K，这是一维的形式。

现在我们拓展到二维，也就是我们通常所见的平面，此时这里的元素可以写成（a，b），即二元有序数组的形式。

由全体类似的这种形式组成的一个集合我们就定义为

注意，这里的a，b必须属于K（因为是写成K的二次幂的形式）。

好了，准备工作已经能够完成，现在我们给出向量空间的定义。

向量空间（Vector Space）

Def：数域K上所有n元有序数组组成的集合（记作

）,连同定义在它上面的加法运算和数量乘法运算（见下），及其满足的加法交换律，结合律等8条运算法则一起，称为

数域K上的n维向量空间（也记作

），并把

中的元素称为一个n维向量。

注意，这个定义并不是普遍意义上的向量空间。

其中，

设

同时，我们定义减法运算如下：

注意，这个运算并不是原先就有的，它是我们定义出来的，这点很重要。

容易验证，它们满足以下性质：(其中，

1. 加法交换律：
2. 加法结合律：
3. 加法单位元：我们记
   ，我们称0为
   的

   零元。

4. 加法可逆：
   ,使得
   这里，我们称
   是
   的负元，其中
5. 数乘单位元：
6. 数乘分配律：
7. 分配律一：
8. 分配律二：

有了这些，我们再来定义普遍意义上的向量空间。

Def：设V是一个带有加法与数量乘法的集合，并满足以下八条性质(其中，

)

加法交换律：

加法结合律：

加法单位元：我们记

，我们称0为

的

零元。
加法可逆：

,使得

这里，我们称

是

的负元，其中

数乘单位元：

数乘交换律：

分配律一：

分配律二：

那么就称V是数域K上的一个向量空间。（注意和上面定义的区别。）

抱歉，之前的定义不够准确，感谢看官指正。

在真正入手对向量空间结构的讨论之前，我们需要先理清自己的思路，也就是先搞清楚我们可以从哪几个方面入手。

我们知道，向量空间实质上是一个特殊集合附上两个运算（加法和数乘）以及八条运算法则，而要研究一个集合的结构，我们可以从很多种角度入手。

比如把集合划分为很多个他的子集，或者将集合中的元素进行分类，又或者研究什么样的线性空间可以分到同一类，也就是找到一个可以刻画线性空间的量，还有就是找出一个向量空间的核心，即通过少数向量可以刻画出整个向量空。

这些我们后面都会一一讲到，这里我们先来介绍其中的一种角度，即寻找向量空间的“核心”，我们通常称这个核心叫做基。

引入基的概念之前，我们先来了解一些预备知识。

线性表出（Linear Expression）

Def：在向量空间

则称

下面列出有关线性表出的两个性质

向量组内的向量可以由该向量组线性表出(

零向量可由任一向量组线性表出。（系数全取0即可）

这里我们再引入一个向量组等价的概念

Def：如果向量组

下面我们着手寻找在一系列等价的向量组中最简单的一种（向量个数最少），那怎么样就向量最少呢？

很自然的我们就会想到用之前的线性表出来简化一个向量组，那么与

当然，他还要等价的基本条件，能线性表出

Def：向量组

这里我们举一个例子来加深大家的理解

Example：

向量组

在数学中，不唯一的东西往往是麻烦的，就像这里，由于极大线性无关组有很多个，我们往往很难辨认出一个向量组是否是它的极大线性无关组，于是我们就想找到极大线性无关组的一些特性，即同一向量组的极大线性无关组之间有什么联系或者有什么共同的关系。

从上面的例子我们就可以看出，他们都是只含有2个向量的，那么我们就猜测，是否同一个向量组的不同极大线性无关组中的向量个数都相同呢？

为了探讨这个问题，我们先引入向量组线性相关与线性无关的概念。

线性相关与线性无关（Linear Dependent And Linear Independent）

Def：在

那么就称向量组

这里有一个等价条件

Prop：

向量组

proof：这个证明作为练习留给大家。

右边的命题是不是有点熟悉？

这不就是刚才极大线性无关组定义中的第二个条件吗！

所以，极大线性无关组也可以这样定义

Def：向量组

这下知道为啥叫极大线性无关组了吧？

下面我们再讨论一下极大线性无关组的存在性，也就是是否任一向量组都有极大线性无关组呢？（这里暂且只讨论含有有限多个向量的向量组）

答案是肯定的。

因为根据定义，我们可以先在向量组中随便选取一个向量，然后往里面随便添一个向量看由这两个向量组成的向量组是否线性无关，如果线性相关就换另一个向量尝试，接着再添入第三个向量......以此类推。

于是，只要向量组的个数是有限的，就一定可以找到一个所含向量个数小于或等于它的极大线性无关组。（含有无限多个向量的向量组我们这里先不做讨论）

这就证明了只含有限向量向量组的极大线性无关组必然存在，实际上在这里我们也相当于给出了一个求极大线性无关组的方法。

我们现在从多个角度看下线性相关与线性无关

Prop

1.从线性组合来看（定义）

2.从线性表出来看（这正是上面所讲的）

3.从向量组线性表出一个向量来看：设向量

这里我们简单证明一下第一个，第二个的证明方法类似。

proof：假设表出方式不唯一，则存在

中不全相同两组数的

和

使得

两式相减,得

由

线性无关知

于是，

,与假设矛盾，这就证明了表法唯一。

4.从向量组与它的部分组的关系来看

5.从向量组与它的延伸组与缩短组的关系看：

如果一个向量组线性无关，那么把每个向量添上m个分量（所添分量的位置对于每个向量都一样）得到的延伸组也线性无关。

如果一个向量组线性相关，那么把每个向量去掉m个分量（去掉的分量的位置对于每个向量都一样）得到的缩短组也线性相关。

同样的，我们这里只给出第一个的证明。

proof：设

线性无关，并它的一个延伸组设为

,则从

可得出

，又由

知

，于是

线性无关。

由此我们可以认识到，线性相关与线性无关在这门课里是一个相当深刻的概念，通过这个概念我们可以研究线性空间的很多方面。

实际上，在整个高等代数课程中它一直都十分活跃，我们以后还可以从更多的角度来刻画这个概念，随着我们讨论的深入，你会越来越发现这个概念的美妙之处。

小结

作为这个系列的第一篇，我们引入了线性空间的一些最基本的概念，虽然阐述的思路是沿着《Linear Algebra Done Right》,但是由于我学的时候用的是丘维声的教材，所以这里的具体的内容还是大部分引自丘的书，只是为了让大家更好地理解，我对其在顺序上进行了一些重组。

下一篇中我会重点将篇幅用来探讨同一向量组的不同间的共同性质（别忘了，我们探讨线性相关与线性无关的目的正在于此，可是由于这不是一个轻松活，因此我准备把它留在下一篇详尽阐述）

同样，我们还会在下一篇中解决另一个与之类似的问题，即如何用少数几个向量表示一个向量或者它的一个子空间（我们将会在下一篇中给出它的定义）。

下面是一些练习

Exercise

1. 尝试证明向量组
   线性无关
   中任一向量不可由该向量组中其他向量线性表出。
2. 证明只要表出方式不唯一就有无穷多种表出方式。
3. 试求向量组
   的一个极大线性无关组。
4. 设向量组
   可以由向量组
   线性表出，如果
   ,那么
   线性相关

好了，今天我们就先谈到这里，这也算是从真正意义地在知乎上亮相的第一篇笔记了，由于之前不知道知乎公式的编辑用的是Latex，所以只好苦着脸边打边学（羞愧脸），这才过了这么长时间才打出来，实在抱歉，现在熟练些了，以后努力每个星期更新一篇。

当然，任何笔记都具有著作权，不可随意转载和剽窃，如果转载请注明出处。

最后，由于这是第一次尝试，免不了很多做得不好的地方，欢迎各位看官拍砖指正，有一些好的建议也可以私信我啊，当然也欢迎有兴趣的同学在这里投稿自己的作品，丰富专栏的多元性，多谢大家支持，小弟在此Orz了~~