离散信号与系统的时域分析

摘要：通过对数字信号处理的深刻理解，在有MATLAB对信号进行仿真前提下，使得离散信号输出更准确更形象。利用MATLAB工具箱中filter函数对差分方程求解，防真出系统响应和系统单位脉冲响应，用conv函数完成线形卷积。在判断系统稳定性时，巧妙的将输入信号改为单位阶跃序列，观察稳态输出是否趋于常数（包括零）来判断，如果输出趋于数，则系统稳定，否则系统不稳定。然而，完整的模拟也会存在细小的瑕疵，所以本文还需要改进。尤其是在卷积编程时，冗余度较大。

报告要求：

（1）简述离散系统时域分析方法；

答：离散系统在时域中，是通过差分方程，单位脉冲响应或系统函数对系统特性进行描写。所以在输入信号已知的情况下，知道其中之一就可以利用MATLAB就可以对其进行求解。倘若一直差分方程就适合用工具箱函数filter求差分方程的解。也可以用conv函数计算输入信号核系统的单位脉冲响应的线形卷积，求出系统响应。

（2）简述通过实验判断系统稳定性的方法；

答：判断系统稳定性，从时域看可以通过检查系统单位脉冲响应是否绝对可和来判断。但实际中，只要用单位阶跃序列作为输入信号，如果稳态输出趋于常数或零，则系统稳定，否则系统不稳定。

（3）完成设计实验，并对结果进行分析和解释；

（4）打印程序清单和要求画出的信号波形；

（5）写出本次课程设计的收获和体会。

程序清单和波形图

定义基础函数：

1 uDT为单位阶跃序列

function y=uDT(n)

y=n>=0; %当参数大于等于0时阶跃为1，否则为0

1. impDT为单位采样序列

function y=impDT(n)

y=(n==0); %当参数为0时冲激为1,否则为0

第一题：

1 给定一个低通滤波器的差分方程为

程序一：

%系统响应%

N=8;

a=[1 -0.9];

b=[0.05 0.05];

n=0:30;

subplot(211)

x1=uDT(n)-uDT(n-N);

y1=filter(b,a,x1);

stem(n,y1,'fill','g'),grid on

xlabel('n'),title('系统响应y1(n)')

subplot(212)

x2=uDT(n);

y2=filter(b,a,x2);

stem(n,y2,'fill','r'),grid on

xlabel('n'),title('系统响应y2(n)')

2 系统的单位脉冲响应波形图如下：

程序二：

%系统单位脉冲响应%

a=[1 -0.9];

b=[0.05 0.05];

n=0:30;

impz(b,a,30),grid on

title('系统单位脉冲响应h(n)')

第二题：

用线性卷积法求x1(n)=R8(n)分别对系统h1(n)和h2(n)的输出响应，画出波形如下：

程序三：

%线性卷积%

nx=-1:5; %x(n)向量显示范围(添加了附加的零值)

nh=-2:10; %h(n)向量显示范围(添加了附加的零值)

x=uDT(nx)-uDT(nx-8);

h1=uDT(nh)-uDT(nh-10);

h2=impDT(nh)+2.5.*impDT(nh-1)+2.5.*impDT(nh-2)+impDT(nh-3);

y1=conv(x,h1);

y2=conv(x,h2);

ny1=nx(1)+nh(1); %卷积结果起始点

%卷积结果长度为两序列长度之和减1,即0到(length(nx)+length(nh)-2);

%因此卷积结果的时间范围是将上述长度加上起始点的偏移值

ny=ny1+(0:(length(nx)+length(nh)-2));

subplot(321)

stem(nx,x,'fill'),grid on

xlabel('n'),title('x(n)')

axis([-4 16 0 3])

subplot(322)

stem(nh,h1','fill'),grid on

xlabel('n'),title('h1(n)')

axis([-4 16 0 3])

subplot(323)

stem(nh,h2','fill'),grid on

xlabel('n'),title('h2(n)')

axis([-4 16 0 3])

subplot(324)

stem(ny,y1,'fill'),grid on

xlabel('n'),title('y(n)=x(n)*h1(n)')

axis([-4 16 0 3])

subplot(325)

stem(ny,y2,'fill'),grid on

xlabel('n'),title('y(n)=x(n)*h2(n)')

axis([-4 16 0 3])

第三题：

用实验方法检查系统是否稳定。输入信号为u(n)时，画出系统输出波形如下：

从频域看：

程序四：

B=[1,1.8237,-0.9801];

A=[1/100.49,0,-1/100.49];

zplane(B,A),grid on

legend('零点','极点')

title('零极点分布图')

（由于系统所有极点在单位圆上，则系统稳定）

从时域看：

程序五：

%稳定性判断

a=[1 -1.8237 0.9801];

b=[1/100.49 0 -1/100.49];

n=0:300;

x1=uDT(n);

y1=filter(b,a,x1);

stem(n,y1,'fill''b'),grid on

xlabel('n'),title('系统响应y1(n)')

（由于系统输出趋于零，则系统稳定）

（2） 给定输入信号，求出系统的输出响应，画出其波形图如下：

程序六：

%差分方程对应的系统函数

a=[1 -1.8237 0.9801];

b=[1/100.49 0 1/100.49];

n=0:30;

subplot(211)

x1=uDT(n);

y1=filter(b,a,x1);

stem(n,y1,'fill','g'),grid on

xlabel('n'),title('系统响应y1(n)')

subplot(212)

x2=sin(0.014.*n)+sin(0.4.*n);

y2=filter(b,a,x2);

stem(n,y2,'fill','r'),grid on

xlabel('n'),title('系统响应y2(n)')

参考文献：

[1] 吴礼斌，李伯年，数学实验与建模 北京，国防工业出版社2007

[2] 张威 MATLAB基础与编程入门（第二版）西安， 西安电子科技大学 2008

[3] 高西全，丁玉美，数字信号处理（第三版）西安，西安电子科技大学 2008

[4] Vinay K Lngle,John G Proakis.数字信号处理及其MATLAB实现 陈怀琛 王朝英,高西全, 译.北京:电子工业出版社,1988