回溯法——设计一个算法在1、2、3... 9（顺序不能变）数字之间插入+ 或 - 或什么都不插入，使得计算结果总是100的程序，并输出所有的可能性和全排列

回溯法

题目描述：

设计一个算法在1、2、3… 9（顺序不能变）数字之间插入+ 或 - 或什么都不插入，使得计算结果总是100的程序，并输出所有的可能性。例如1+2+34-5+67-8+9=100

分析思路：
用数组a存放1 ~ 9的整数，用字符数组op存放插入的运算符，op[i]表示在a[i]之前插入的运算符。采用回溯法产生和为100的表达式，op[i]只能取+、- 或者空格。

设计函数fun(op,sum,prevadd,a,i)
sum:记录考虑整数a[i]时前面表达式计算的整数和（初始值为a[0]）
prevadd:记录前面表达式中的一个数值（初始值为a[0]）
i：从1开始到8结束，若sum=100，得到一个解

代码：

#include<stdio.h>
#define N 9
void fun(char op[],int sum,int prevadd,int a[],int i){if(i==N)   //扫描完所有位置{if(sum==100)  //找到一个解{ printf(" %d",a[0]); //输出解for(int j=1;j<N;j++){if(op[j]!=' ')printf("%c",op[j]);printf("%d",a[j]);} printf("=100\n");} return;} op[i]='+';  //位置i插入+ sum+=a[i];   //计算结果 fun(op,sum,a[i],a,i+1);  //继续处理下一个位置sum-=a[i];   //回溯op[i]='-';   //位置i插入-sum-=a[i];  //计算结果fun(op,sum,-a[i],a,i+1);  //继续处理下一个位置sum+=a[i];  //回溯op[i]=' ';    //在位置i插入‘’sum-=prevadd;  //先减去前面的元素值int tmp;   //计算新元素值if(prevadd>0)tmp=prevadd*10+a[i];   //如prevadd=5,a[i]=6,结果为56elsetmp=prevadd*10-a[i];   //如prevadd=-5,a[i]=6,结果为-56sum+=tmp;    //计算合并结果fun(op,sum,tmp,a,i+1);  //继续处理下一个位置sum-=tmp;   //回溯到sum sum+=prevadd;
}
void main(){int a[N];char op[N];   //op[i]表示在位置i插入运算符 for(int i=0;i<N;i++)   //将a赋值为1、2、...9a[i]=i+1;printf("求解结果\n");fun(op,a[0],a[0],a,1);  //插入位置i从1开始
}

2.解空间为排列数

解空间为排列数的递归回溯框架

int X[n]; //X存放解向量，并初始化
void backtrack(int i)   //求解排列数的递归框架
{if(i>n)   //搜索到叶子结点，输出一个可行解 输出结果; else{for(j=i;j<=n;j++)  //用j枚举i的所有可能路径 {...   //第i层的节点选择X[j]的操作swap(X[i],X[j]);   //为保证排列中每个元素不同，通过交换实现if(constrain(i)&&bound(i))backtrace(i+1);  //满足约束条件和限界函数，进入下一层swap(x[i],x[j]);   //恢复状态...   //第i层的节点选择x[j]的恢复操作 }}
}

问题描述：

在一个含有n个整数的数组a，所有元素均不相同，求其所有元素的全排列。
例：a[]={1,2,3},
得到的结果是(1,2,3)、（1,3,2）、（2,3,1）、（2,1,3）、（3,1,2）、（3,2,1）

采用递归回溯法——递归模型f(a,n,i)

f(a,n,i) 输出产生的解     若i=n
f(a,n,i) 对于j=i~n-1:a[i]与a[j]交换位置；  其他情况f(a,n,i+1);将a[i]与a[j]交换位置（恢复环境）

例：a[]={1,2,3},

代码：

#include<stdio.h>
void swap(int &x,int &y)   //交换x、y
{int tmp=x;x=y;y=tmp;} void dispsolution(int a[],int n){  //输出一个解printf("(");for(int i=0;i<n-1;i++)printf("%d, ",a[i]);printf("%d)",a[n-1]); }void dfs(int a[],int n,int i)   //求a[0 ... n-1]的全排列{if(i>=n)   //递归出口dispsolution(a,n);else{for(int j=i;j<n;j++){swap(a[i],a[j]);  //交换a[i]与a[j]dfs(a,n,i+1);swap(a[i],a[j]);  //交换a[i]与a[j] }} } int main(){int a[]={1,2,3};int n=sizeof(a)/sizeof(a[0]);printf("a的全排列\n");dfs(a,n,0);printf("\n");}

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