问题描述：在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。试设计一个算法，计算出将n堆石子

2024-04-22 16:23:53

问题描述：

在一个圆形操场的四周摆放着n 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。
规定每次只能选相邻的2 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法，计算出将n堆石子合并成一堆的最小得分和最大得分

分析

要求每次合并必须是相邻的，和矩阵链乘的括号作用差不多。可以考虑往矩阵链乘最小代价的递归方程上靠。设dp[i,j]为第i堆到第j堆合并的最优解，则dp[i,j]=mindp[i,k]+dp[k+1,j]+vi+...vjdp[i,j]=min{dp[i,k]+dp[k+1,j]+vi+...vj}dp[i,j]=mindp[i,k]+dp[k+1,j]+vi+...vj

注意由于是圆形，而矩阵链乘是线性的，所以这个递归方程势必需要修改。考虑如何表示环，一个自然的想法是利用mod函数。递归方程修改如下，为了方便表示修改dp[i,j]定义如下：从第i堆开始合并j堆的最优解。（否则需要填写的项数不全在一个矩阵半角上）

dp[i,j]=min{dp[i,k]+dp[(i+k)%n,j−k]+vi+…+vj} i<=k<=j

dp[i,j]=max{dp[i,k]+dp[(i+k)%n,j−k]+vi+…+vj} i<=k<=j

代码展示

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;
int n;
int dp_max[207][207];
int dp_min[207][207];
int cost[207];
int a[203];
const int MAX = 0x3f3f3f3f;int main()
{while(scanf("%d", &n) != EOF){memset(dp_min, MAX, sizeof(dp_min));memset(dp_max, 0, sizeof(dp_max));for(int i = 1; i <= n; i++){scanf("%d", &a[i]);a[i + n] = a[i];dp_min[i][i] = 0;dp_min[i + n][i + n] = 0; }cost[0] = 0;for(int i = 1; i <= 2 * n; i++)//为了后面方便用前缀和cost[i] = cost[i - 1] + a[i];for(int len = 2; len <= n; len++)//走几步 {for(int i = 1; len + i - 1 <= 2 * n; i++)//从哪开始 {int j = len + i - 1;for(int k = i; k < j; k++){dp_min[i][j] = min(dp_min[i][j], dp_min[i][k] + dp_min[k + 1][j] + cost[j] - cost[i - 1]);dp_max[i][j] = max(dp_max[i][j], dp_max[i][k] + dp_max[k + 1][j] + cost[j] - cost[i - 1]);}}}int ans_min = MAX;int ans_max = -1;for(int i = 1; i <= n; i++){ans_min = min(ans_min, dp_min[i][i+n-1]);ans_max = max(ans_max, dp_max[i][i+n-1]);}cout << ans_min << " " << ans_max << endl;}return 0;
}

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