题意

给出n和m，问选出m个集合，满足这m个集合互不相等且为{1,2,…,n}的子集，且每个数在这m个集合中出现的总次数为偶数的方案。答案模100000007
n,m<=1000000

分析

想了快一个小时都没想到怎么做。。。

首先我们可以把这m个集合变成有序的，然后最后再除以m!就好了。
我们可以设f[i]表示选了i个集合且满足题目要求的方案数。
很重要的一点就是，因为每个数出现次数必然为偶数，所以如果我们已经选了i-1个集合，那么第i个集合就已经是固定下来的了。
那么f[i]方案数就等于Ai−12n−1A_{2^n-1}^{i-1}
但是这样会有两种情况不满足：
1、前i-1个集合中每个数的出现次数均为偶数，那么第i个集合就是空集，是不满足的。所以要减去f[i-1]
2、推出第i个集合后，前i-1个集合中有一个是与它相同的。因为把这两个相同的集合去掉后，剩下的集合是一定满足题目条件的，所以剩下集合的方案数就是f[i-2]，然后这两个集合的方案数就是2n−1−(i−2)2^n-1-(i-2)，乘起来即可。
最后记得除以m!。
上面那个排列数可以通过递推来求。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;typedef long long LL;const int N=1000005;
const int MOD=100000007;int n,m,f[N],g[N];int ksm(int x,int y)
{int ans=1;while (y){if (y&1) ans=(LL)ans*x%MOD;x=(LL)x*x%MOD;y>>=1;}return ans;
}int main()
{scanf("%d%d",&n,&m);int w=ksm(2,n)-1;g[1]=w;for (int i=3;i<=m;i++){g[i-1]=((LL)g[i-2]*(w-i+2)%MOD+MOD)%MOD;f[i]=(g[i-1]-f[i-1]-(LL)f[i-2]*(i-1)%MOD*(w-i+2)%MOD+MOD)%MOD;}int inv=1;for (int i=2;i<=m;i++) inv=(LL)inv*i%MOD;f[m]=(LL)f[m]*ksm(inv,MOD-2)%MOD;printf("%d",f[m]);return 0;
}

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