BZOJ2339: [HNOI2011]卡农(dp 容斥)
题意
从$1 - n$中任意选择一些数,选$m$次构成$m$个集合
保证:
- 集合不为空
- 任意两个集合不相同
- 集合内各个元素xor起来等于0
Sol
神仙题Orz
我看到两种做法,一种是洛谷题解上的直接dp,另一种是yyb的神仙转化。
其实都差不多吧。。
我简单说一下,设$f[i]$表示选了$i$个集合,满足条件的方案
直接转移会非常麻烦,因为要同时限制集合不同 xor不为0,我们又不知道集合的具体元素。
因此我们考虑容斥。
为了方便考虑,我们先不考虑每个元素的位置,最后再除以$M!$
因为xor的性质,若我们已经知道了前$i - 1$个元素,那么我们这时候选什么是确定的。
先确定出前$i - 1$个数,方案数为$A_{2^n - 1}^{i - 1}$,
考虑若此时选了一个空的集合,那我们要保证前$i - 1$个集合满足条件,方案数为$f[i - 1]$
若选了重复的集合(这是最难理清楚的),剩下的$i - 2$个元素很定要满足条件,方案数为$f[i - 2]$,然后我们枚举一个集合,方案数为$2^{n} - (i - 2)$,这样看似就可以了。但是我们在递推的时候是没有考虑顺序的,因此另一个元素有$i - 1$种取值,因此还要乘$i - 1$
得到递推式
f[i]=A_{2^n-1}^{i-1}-f[i-1]-(i-1)\times f[i-2]\times(2^n-1-(i-2))
// luogu-judger-enable-o2 #include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> #include<stack> #include<vector> #include<cstring> #define LL long long //#define int long long using namespace std; const int MAXN = 3 * 1e6; const LL mod = 1e8 + 7;//fuck inline int read() {char c = getchar(); int x = 0, f = 1;while(c < '0' || c > '9'){if(c == '-') f = -1; c = getchar();}while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();return x * f; } int N, M; LL ifac[MAXN], fac[MAXN], f[MAXN], A[MAXN]; LL fastpow(LL a, LL p) {LL base = 1;while(p) {if(p & 1) base = (base * a) % mod;a = (a * a) % mod; p >>= 1;}return base % mod; } main() {N = read(); M = read(); LL base = fastpow(2, N) % mod;fac[0] = A[0] = 1; for(int i = 1; i <= M; i++) fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % mod;ifac[M] = fastpow(fac[M], mod - 2);for(int i = 1; i <= M; i++) A[i] = 1ll * A[i - 1] * (base - i + mod) % mod;f[0] = 1; f[1] = 0; for(int i = 2; i <= M; i++) f[i] = ((A[i - 1] - f[i - 1] + mod) % mod - 1ll * f[i - 2] * (i - 1) % mod * (base - i + 1) % mod + mod) % mod;printf("%lld", f[M] * ifac[M] % mod);return 0; } /* 99999 99999 */
转载于:https://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/9540625.html
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