[Luogu P3214] [BZOJ 4339] [HNOI2011]卡农

题目描述

众所周知卡农是一种复调音乐的写作技法，小余在听卡农音乐时灵感大发，发明了一种新的音乐谱写规则。他将声音分成 nnn 个音阶，并将音乐分成若干个片段。音乐的每个片段都是由 111 到 nnn 个音阶构成的和声，即从 nnn 个音阶中挑选若干个音阶同时演奏出来。为了强调与卡农的不同，他规定任意两个片段所包含的音阶集合都不同。同时为了保持音乐的规律性，他还规定在一段音乐中每个音阶被奏响的次数为偶数。现在的问题是：小余想知道包含 mmm 个片段的音乐一共有多少种。两段音乐 aaa 和 bbb 同种当且仅当将 aaa 的片段重新排列后可以得到 bbb。例如：假设 aaa

为{{1,2},{2,3}}\{\{1,2\},\{2,3\}\}{{1,2},{2,3}}，bbb 为{{3,2},{2,1}}\{\{3,2\},\{2,1\}\}{{3,2},{2,1}}，那么 aaa 与 bbb 就是同种音乐。由于种数很多，你只需要

输出答案模 100000007100000007100000007（质数）的结果。

输入输出格式

输入格式：

从文件input.txt中读入数据，输入文件仅一行，具体是用空格隔开的两个正整数nnn和mmm，分别表示音阶的数量和音乐中的片段数。20%20\%20%的数据满足n,m≤5n,m≤5n,m≤5，50%50\%50%的数据满足n,m≤3000n,m≤3000n,m≤3000，100%100\%100%

的数据满足n,m≤1000000n,m≤1000000n,m≤1000000。

输出格式：

输出文件 output.txt 仅包含一个非负整数，表示音乐的种数模 100000007100000007100000007 的结果。【输入输出样例】

输入输出样例

输入样例#1：

2 3

输出样例#1：

解题分析

题目无非是让我们在选子集的时候满足三个条件：

选的每个元素都出现偶数次
选的子集不为空
不能选重复的子集

假设我们正在考虑计算dp[i]dp[i]dp[i]。如果只要求满足第一个要求，直接确定i−1i-1i−1个之前选的子集，第iii个子集就唯一确定了，所以这里算出来的方案数是(2n−1i−1)×(i−1)\binom{2^n-1}{i-1}\times (i-1)(i−12n−1)×(i−1)。

然后考虑为空的限制，发现当且仅当前i−1i-1i−1个本身就满足条件才会导致第iii个为空，所以减去dp[i−1]dp[i-1]dp[i−1]即可。

最后一个限制，发现只可能是第iii个和前i−1i-1i−1个中的一个重复了，那么剩下的i−2i-2i−2个就是合法的了，也就是dp[i−2]dp[i-2]dp[i−2]。重复的一个的选法有(2n−1)−(i−2)(2^n-1)-(i-2)(2n−1)−(i−2)，然后重复的那个子集在i−1i-1i−1个子集中有i−1i-1i−1个不同的位置，因此这一部分减去的贡献是dp[i−2]×(i−1)×(2n−1−(i−2))dp[i-2]\times (i-1)\times (2^n-1-(i-2))dp[i−2]×(i−1)×(2n−1−(i−2))。

代码如下：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#define R register
#define IN inline
#define W while
#define gc getchar()
#define ll long long
#define MX 1005000
#define MOD 100000007
int A[MX], dp[MX];
int pw, n, m, fac = 1;
IN int fpow(R int base, R int tim)
{int ret = 1;W (tim){if (tim & 1) ret = 1ll * ret * base % MOD;base = 1ll * base * base % MOD, tim >>= 1;}return ret;
}
int main(void)
{scanf("%d%d", &n, &m);pw = (fpow(2, n) - 1 + MOD) % MOD;A[0] = 1;for (R int i = 1; i <= m; ++i) A[i] = 1ll * (pw - i + 1 + MOD) % MOD * A[i - 1] % MOD, fac = 1ll * fac * i % MOD;dp[0] = 1, dp[1] = 0;for (R int i = 2; i <= m; ++i) dp[i] = ((A[i - 1] - dp[i - 1] - 1ll * dp[i - 2] * (i - 1) % MOD * (pw - (i - 2)) % MOD) % MOD + MOD) % MOD;printf("%lld\n", 1ll * dp[m] * fpow(fac, MOD - 2) % MOD);
}