【bzoj 4451】[Cerc2015]Frightful Formula

　　~~才没有在做cerc2015呢~~
　　看到好像不少人这题写fft卡得死死的啊，不如 O(n) O(n) 递推（雾）
　　首先可以观察出 (i,1) (i,1)这个格子为 x x时对(n,n)(n,n) a,b a,b单独的贡献为 x(n−2+n−in−i)an−1bn−i x\binom{n-2+n-i}{n-i}a^{n-1}b^{n-i}， (1,i) (1,i)格子同理。这两部分可以直接xjb算出来。
　　考虑 (i,j) (i,j)格子的 c c对(n,n)(n,n)的贡献，为

∑i=2n∑j=2n((n−i)+(n−j)n−i)an−ibn−jc

\sum_{i=2}^n \sum_{j=2}^{n} \binom{(n-i)+(n-j)}{n-i} a^{n-i}b^{n-j}c
　　后面的 c c先不管，先把这个式子xjb变换一下。

∑i=2nan−i∑j=2n(2n−i−jn−i)bn−j　　=∑i=0n−2ai∑j=0n−2(i+ji)bj

\sum_{i=2}^n a^{n-i} \sum_{j=2}^n \binom{2n-i-j}{n-i} b^{n-j}\\=\sum_{i=0}^{n-2}a^i \sum_{j=0}^{n-2} \binom{i+j}{i} b^j
　　其实推到这里就可以做了，注意到把组合数拆开了之后是两个指数生成函数的卷积的系数和（差不多这个意思），就可以直接上fft了。
　　 ~~但是这样太优美了不够暴力~~
　　继续把它推下去吧。
　　我们设

fn=∑i=0nai∑j=0n(i+ji)bj

f_n=\sum_{i=0}^{n}a^i \sum_{j=0}^{n} \binom{i+j}{i} b^j
　　那么答案就是 fn−2 f_{n-2}，现在考虑怎么搞出个递推式。我们可以把前 n−1 n-1项都提出来。
　　

fn=fn−1+an∑i=0n−1(n+ii)bi+bn∑i=0n−1(n+ii)ai+(2nn)anbn

f_n=f_{n-1}+a^n\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n+i}{i}b^{i}+b^n\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n+i}{i}a^i+\binom{2n}{n}a^nb^n
　　注意到中间有两个东西是一样的，那么可以继续设

gn(x)=∑i=0n−1(n+ii)xi

g_n(x)=\sum_{i=0}^{n-1}\binom{n+i}{i}x^i
　　把组合数拆了，继续推吧= =
　　

gn(x)=∑i=0n−1((n−1+ii)+(n−1+ii−1))xi　　=gn−1(x)+(2n−2n−1)xn−1+∑i=0n−2(n+ii)xi+1=gn−1(x)+(2n−2n−1)xn−1+xgn(x)−(2n−1n−1)xn

g_n(x)=\sum_{i=0}^{n-1}(\binom{n-1+i}{i} + \binom{n-1+i}{i-1})x^i\\ = g_{n-1}(x)+\binom{2n-2}{n-1}x^{n-1}+\sum_{i=0}^{n-2}\binom{n+i}{i}x^{i+1}\\=g_{n-1}(x)+\binom{2n-2}{n-1}x^{n-1}+xg_n(x)-\binom{2n-1}{n-1}x^n
　　移一下项，得到
　　

gn(x)=(gn−1(x)+(2n−2n−1)xn−1−(2n−1n−1)xn)/(1−x)

g_n(x)=(g_{n-1}(x)+\binom{2n-2}{n-1}x^{n-1}-\binom{2n-1}{n-1}x^n)/(1-x)
　　把 gn(x) g_n(x)代入 fn f_n，有
　　

fn=fn−1+angn(b)+bngn(a)+(2nn)anbn

f_n=f_{n-1}+a^ng_n(b)+b^ng_n(a)+\binom{2n}{n}a^nb^n
　　好的到这里 gn(x) g_n(x)就可以 O(n) O(n)算了。。。于是 fn f_n也可以 O(n) O(n)算了。
　　注意一下 gn(0) g_n(0)和 gn(1) g_n(1)不用递推，直接算就好。
　　于是在 O(n) O(n)内就做完啦。
　　代码太丑就不贴了。

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