最近要推倒波动方程积分解，要对散度、旋度以及他们之间的相互关系有一个理解。看了两天，自己认为理解的差不多了，现在写在这个地方，作为笔记，以后忘记了拿过来看一下，加深一下印象。

前面已经在从知乎几个大神那里转载了一些比较通俗易懂的三个公式的推导，现在着重讲一下本人所理解的几个公式之间的相互关系及物理意义。

格林公式其实表达的是能量守恒的关系，比较详细的解释可以参照知乎的这篇文章（https://www.zhihu.com/question/22674439），其主要功能是构建曲线积分和曲面积分的关系，推倒过程简述如下：

最终可得如下结果：

将其拓展到三维，就得到斯托克斯公式，其表达式为

将散度展开，则表达式为

比较格林公式和斯托克斯公式，可以看到格林公式是斯托克斯公式在xy面上的投影

不过斯托克斯公式从做功的角度进行理解还是有点太抽象，本来这个公式的产生是为了计算物理中的磁场通量，即电场产生磁场，规定线圈逆时针为正方向，用右手定律可知z方向为磁通量正方向（如上图），而磁通量可以按照曲面形状分别投影到三个坐标平面进行求取，即三个坐标平面的投影面积乘上相对应的磁通量分量，这样理解的话与高斯公式有一定的相似之处（都是计算通量），可以说高斯公式是斯托克斯公式的特殊情况，只是高斯公式构建了三维体积分和闭合曲面积分之间的关系，而斯托克斯公式构建的是面积分和闭合曲线之间的关系（曲面可以不闭合）。这么说可能还是有点抽象，现在给出高斯公式的具体物理意义：

比如说，闭合曲面中有很多点往外散发能量，现在要求取闭合曲面往外散射的能量（通过闭合曲面的能量），这个时候有两种方法，一种是在闭合曲面上取很小的一个面积乘上这个面积上的强度，按照微积分学的基本思想，在曲面上求取曲面积分，其表达式为

另外一种方法就是对闭合曲面内中的每个点进行体积分，其表达式为

这就是高斯公式的表达式。

将高斯公式与斯托克斯公式进行比较，可以发现

二者都是描述通量，不同之处在于高斯公式对应有源闭合曲面情况，斯托克斯公式对应无源曲面情况，在此种情况下如果都为闭合曲面，斯托克斯公式对应的通量为零，高斯公式对应的通量非零；
斯托克斯公式对应的通量是矢量（平行曲面法向方向），高斯公式对应的通量为标量没有方向，这是二者本质区别；

由以上分析可以知道高斯公式是斯托克斯公式的特殊形式，在一定情况下斯托克斯公式能退化成高斯公式。

以上是我对这三个公式的理解，如有不当或者错误的地方，大神们请提出宝贵意见。

另外插播一条广告，摘抄的方向导数

现在我们来讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题.

定义设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线.设轴正向到射线的转角为（逆时针方向：0；顺时针方向：0），并设＇(+△,+△)为上的另一点且＇∈.我们考虑函数的增量(+△,+△)－与、＇两点间的距离的比值.当＇沿着趋于时，如果这个比的极限存在，则称这极限为函数在点沿方向的方向导数，记作，即

(1)

从定义可知，当函数在点的偏导数x、y存在时，函数在点沿着轴正向=，轴正向=的方向导数存在且其值依次为x、y，函数在点沿轴负向=，轴负向=的方向导数也存在且其值依次为-x、-y.

关于方向导数的存在及计算，我们有下面的定理.

定理如果函数在点是可微分的，那末函数在该点沿任一方向的方向导数都存在，且有

(2)

其中为轴到方向的转角.

证根据函数在点可微分的假定，函数的增量可以表达为

两边各除以，得到

所以

这就证明了方向导数存在且其值为

完毕

格林公式、高斯公式及斯托克斯公式的理解及相互关系相关推荐

哈密顿算子和拉普拉斯算子格林公式高斯公式和斯托克斯公式多重积分的分部积分公式
目录哈密顿算子(Hamiltionian) ∇\nabla∇ 标量性质矢量性质拉普拉斯算子(Laplace) Δ\DeltaΔ 标量性质矢量性质格林公式高斯公式和斯托克斯公式多重积分的分部 ...
重积分 | 【拓展】格林公式、高斯公式、斯托克斯公式之间的联系
数学分析内容,帮助理解即可. 格林公式是多元函数微积分学中的一个重要公式,我们默认已知此直角坐标下的算式, 用它讨论格林公式的两种形式,并很自然地推广到高斯公式和斯托克斯公式. 一.格林公式的旋度形 ...
第二类曲面积分、场论、高斯公式和斯托克斯公式
提示:本文的适用对象为已修过<微积分A1>的非数学系学生,文中题型方法为个人总结,为个人复习使用.部分理解虽然不太严谨,但对于解题的实用性较强.若有疏漏or错误,欢迎批评指正. 0. 对格 ...
再探格林公式、斯托克斯公式、高斯公式
再探格林公式.斯托克斯公式.高斯公式 1.再探格林公式.斯托克斯公式.高斯公式 1.1 格林公式(环量与旋度的联系) 1.2 斯托克斯公式(对格林公式的推广) 1.3 高斯公式(通量与散度的联系) 1 ...
笔记：格林公式高斯公式斯托克斯公式
三大重要公式在高数的曲线曲面积分部分,格林公式.高斯公式和斯托克斯公式是三个十分十分重要的公式,利用这三个公式可以将复杂的积分转化为我们比较熟悉的积分进行解决.看似是三个公式,实则互相关联.现在将这 ...
cgcs2000高斯平面直角坐标_多元微积分——环量、旋度与格林、斯托克斯公式，通量、散度与高斯公式...
学习阶段:大学数学. 前置知识:多元微积分.曲线积分.曲面积分. tetradecane:曲线.曲面积分的几何.物理意义,及一二型的联系zhuanlan.zhihu.com 1. 向量场二维向量场 ...
曲线积分，格林公式，斯托克斯公式
个人重点 (除了对弧长的线积分,别的线积分都请注意方向!!!!) 1.(对弧长,对坐标)曲线积分 2.两类曲线积分之间的联系 3.格林公式 4.曲线积分与路径无关的条件 5.斯托克斯公式 6.已知某函 ...
微积分知识点回顾与总结（九）：曲线与曲面积分，格林，高斯，斯托克斯公式
微积分知识点回顾与总结(九):曲线与曲面积分格林,高斯,斯托克斯公式 1.曲线积分 1.1对弧长的曲线积分 1.2对坐标的曲线积分 1.3计算方法 1.3.1定积分法 1.3.2格林公式(Green) ...
区间再现公式的理解与应用
前往我的主页以获得更好的阅读体验区间再现公式的理解与应用 - DearXuan的主页https://blog.dearxuan.com/2022/05/07/%E5%8C%BA%E9%97%B4%E5 ...
[读书笔记] 从问题和公式角度理解 Diffusion Model
[小全读书笔记] 从问题和公式角度理解 Diffusion Model 1. Diffusion Model的结构 1.1 定义与限制 1.2 定义与限制的数学体现 2. Diffusion Mode ...

格林公式、高斯公式及斯托克斯公式的理解及相互关系

以上是我对这三个公式的理解，如有不当或者错误的地方，大神们请提出宝贵意见。

完毕

格林公式、高斯公式及斯托克斯公式的理解及相互关系相关推荐

最新文章

热门文章