哈密顿算子和拉普拉斯算子格林公式高斯公式和斯托克斯公式多重积分的分部积分公式

2024-05-13 21:17:35

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哈密顿算子（Hamiltionian） ∇\nabla∇
- 标量性质
- 矢量性质
拉普拉斯算子（Laplace） Δ\DeltaΔ
- 标量性质
- 矢量性质
格林公式高斯公式和斯托克斯公式
多重积分的分部积分公式

哈密顿算子（Hamiltionian） ∇\nabla∇

标量性质

u(x,y)u(x,y)u(x,y)是一个标量函数，
∇u=(uxuy)\nabla u=\begin{pmatrix} u_x \\ u_y \\ \end{pmatrix}∇u=(uxuy) 表示梯度

矢量性质

u=(u1u2)u=\begin{pmatrix} u_1 \\ u_2\\ \end{pmatrix}u=(u1u2) 是矢量场(矩阵也可以)
∇⋅u⃗=uT(∂∂x∂∂y)\nabla ·\vec{u}=u^T\begin{pmatrix} \frac {\partial }{\partial x} \\ \frac {\partial }{\partial y}\\ \end{pmatrix}∇⋅u=uT(∂x∂∂y∂)

∇⋅u⃗\nabla ·\vec{u}∇⋅u 点乘是散度

∇×u⃗=∣ijk∂∂x∂∂y∂∂zu1u2u3∣\nabla \times \vec{u}= \begin{vmatrix} i&j&k\\ \frac {\partial }{\partial x} &\frac {\partial }{\partial y}&\frac {\partial }{\partial z}\\ u_1&u_2&u_3\\ \end{vmatrix}∇×u=∣∣∣∣∣∣i∂x∂u1j∂y∂u2k∂z∂u3∣∣∣∣∣∣
∇×u⃗\nabla \times\vec{u}∇×u 点乘是旋度【此时u是向量，如果是矩阵呢？】

拉普拉斯算子（Laplace） Δ\DeltaΔ

标量性质

Δu=∇⋅∇u=∇2u=uxx+uyy\Delta u=\nabla ·\nabla u=\nabla^2 u=u_{xx}+u_{yy}Δu=∇⋅∇u=∇2u=uxx+uyy

矢量性质

Δu=∇(∇⋅A)−∇×(∇×A）=(Δu1Δu2)\Delta u=∇(∇⋅A)−∇×(∇×A）=\begin{pmatrix} \Delta u_1 \\ \Delta u_2\\ \end{pmatrix}Δu=∇(∇⋅A)−∇×(∇×A）=(Δu1Δu2)
此时等同于对u的每个分量拉普拉斯算子

格林公式高斯公式和斯托克斯公式

格林公式

高斯公式

斯托克斯

多重积分的分部积分公式

1.∫∂Ω∂u∂ndσ=∫ΩΔudμ\int_{\partial_{\Omega}}\frac {\partial u}{\partial \bold{n}}d\sigma=\int_{\Omega}\Delta ud\mu∫∂Ω∂n∂udσ=∫ΩΔudμ
2.∫∂Ωv∂u∂ndσ=∫Ω∇u⋅∇vdμ+∫ΩvΔudμ\int_{\partial_{\Omega}}v\frac {\partial u}{\partial \bold{n}}d\sigma=\int_{\Omega}\nabla u ·\nabla v d\mu+\int_{\Omega}v\Delta ud\mu∫∂Ωv∂n∂udσ=∫Ω∇u⋅∇vdμ+∫ΩvΔudμ
3.∫∂Ω（v∂u∂n−u∂v∂n）dσ=∫Ω(vΔu−uΔv)dμ\int_{\partial_{\Omega}}（v\frac {\partial u}{\partial \bold{n}}-u\frac {\partial v}{\partial \bold{n}}）d\sigma=\int_{\Omega}(v\Delta u-u\Delta v)d\mu∫∂Ω（v∂n∂u−u∂n∂v）dσ=∫Ω(vΔu−uΔv)dμ

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