因式分解理论基础(1)一元多项式

定义：有理数域上的一元多项式：
anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+...+a1x+a0其中ai∈Q，n∈Na_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+a_{n-2}x^{n-2}+...+a_1x+a_0其中a_i\in\mathbb{Q}，n\in \mathbb{N}anxn+an−1xn−1+an−2xn−2+...+a1x+a0其中ai∈Q，n∈N
我们称aia_iai为系数，aixia_ix^iaixi为第i次项，a0a_0a0为零次项或者常数项，x为不定元.特别的，我们称系数全为零的多项式为零多项式，记做0，我们将形式如a，a∈Q∗a，a\in \mathbb{Q}^*a，a∈Q∗的多项式称为零次多项式

我们将上述多项式记做f(x)f(x)f(x),同时如果an≠0a_n\neq 0an=0,我们称nnn为多项式的次数，记做degf(x)或者degfdeg f(x)或者deg fdegf(x)或者degf.显见一个多项式的次数是固定且唯一的，同时我们规定零多项式次数为=−∞=-\infin=−∞.

有了上述定义，我们可以做如下规定：
(−∞)+(−∞)=(−∞)(-\infin)+(-\infin)=(-\infin)(−∞)+(−∞)=(−∞)
(−∞)+n=(−∞)(-\infin)+n=(-\infin)(−∞)+n=(−∞)
(−∞)<n(-\infin)<n(−∞)<n
上述规定的来源是为了如下命题：
命题1
设f和g是两个有理数域上一元多项式，则有deg(f±g)≤max{deg(f),deg(g)}=∣deg(f)−deg(g)∣+deg(f)+deg(g)2deg(f\pm g)\leq max\{deg( f),deg( g)\}=\frac{|deg (f)- deg (g)|+deg( f)+ deg( g)}{2}deg(f±g)≤max{deg(f),deg(g)}=2∣deg(f)−deg(g)∣+deg(f)+deg(g)
deg(fg)=deg(f)+deg(g)deg (fg)=deg(f)+deg(g)deg(fg)=deg(f)+deg(g)
其证明是显然的。
由命题1可以得到一个重要的推论
推论1：
对于两个一元多项式f,gf,gf,g,f≠0f\neq 0f=0并且g≠0g\neq 0g=0必定有fg≠0fg\neq 0fg=0,注意这里的0指的是零多项式

例题(Q∗\mathbb{Q}^*Q∗表示非零有理数)
f(x)=cg(x),c∈Q∗f(x)=c g(x),c\in \mathbb{Q}^*f(x)=cg(x),c∈Q∗时有deg(f)=deg(g)deg(f)=deg(g)deg(f)=deg(g)
例题
f(x)=h(x)g(x),f≠0f(x)=h(x)g(x),f\neq 0f(x)=h(x)g(x),f=0必定有deg(f)≥max{deg(h),deg(g)}deg (f)\geq max\{deg(h),deg(g)\}deg(f)≥max{deg(h),deg(g)}
例题
c∈Q∗c\in \mathbb{Q}^*c∈Q∗且c=f(x)g(x)c=f(x)g(x)c=f(x)g(x)则必有deg(f)=deg(g)=0deg(f)=deg(g)=0deg(f)=deg(g)=0
例题
如果∃f(x)\exist f(x)∃f(x)使得g(x)f(x)=1,g(x)f(x)=1,g(x)f(x)=1,必定有deg(f)=deg(g)=0deg (f)=deg (g)=0deg(f)=deg(g)=0,这里再一次强调零多项式和零次多项式的异同

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