一元多项式因式分解的唯一性定理

令f(x)是数域F的一个大于零次的多项式，并且
f(x)=∏i=1npi(x)=∏i=1mqi(x)f(x)= \prod_{i=1}^np_i(x)= \prod_{i=1}^mq_i(x)f(x)=i=1∏npi(x)=i=1∏mqi(x)
其中pi(x),qi(x)p_i(x),q_i(x)pi(x),qi(x)都是数域F的不可约多项式。
那么n = m, 并且将qi(x)q_i(x)qi(x)重排后，可以使得pi(x)=ciqi(x)(ci是零次多项式)p_i(x) = c_iq_i(x)(c_i是零次多项式)pi(x)=ciqi(x)(ci是零次多项式)。

证明

通过数学归纳法证明。
不失一般性，令n>=m
1° 当n = 1时，f(x)为数域F的不可约多项式，自然m=1，p1(x)=q1(x)p_1(x) = q_1(x)p1(x)=q1(x).
2° 假设n = k时，n=m，将qi(x)q_i(x)qi(x)重排后，可以使得pi(x)=cqi(x)p_i(x) = cq_i(x)pi(x)=cqi(x) (c是零次多项式)。
当n = k+1时， ∏i=1k+1pi(x)=∏i=1mqi(x)\prod_{i=1}^{k+1}p_i(x)= \prod_{i=1}^mq_i(x)∏i=1k+1pi(x)=∏i=1mqi(x)
则pk+1(x)∣∏i=1mqi(x)p_{k+1}(x) \mid \prod_{i=1}^mq_i(x)pk+1(x)∣∏i=1mqi(x), 由于pk+1(x)p_{k+1}(x)pk+1(x)在数域F上不可约，则必存在j使得，pk+1(x)∣qj(x)p_{k+1}(x)|q_j(x)pk+1(x)∣qj(x)， qj(x)=h(x)pk+1(x)q_j(x) = h(x)p_{k+1}(x)qj(x)=h(x)pk+1(x), 而qj(x)q_j(x)qj(x)在数域F上不可约，那么h(x)=c (c是零次多项式)。将qi(x)q_i(x)qi(x)去掉qj(x)q_j(x)qj(x)重排后，∏i=1kpi(x)=∏i=1m−1qi(x)\prod_{i=1}^kp_i(x)= \prod_{i=1}^{m-1}q_i(x)∏i=1kpi(x)=∏i=1m−1qi(x), 此时 m-1 <= k (因为 m<=k+1), 可以应用假设，m-1 = k，将qi(x)q_i(x)qi(x)重排后，可以使得pi(x)=cqi(x),i=1,...,kp_i(x) = cq_i(x), i=1,...,kpi(x)=cqi(x),i=1,...,k。则加上之前的qj(x)q_j(x)qj(x), m = k+1，将qi(x)q_i(x)qi(x)重排后，可以使得pi(x)=ciqi(x),i=1,...,k+1p_i(x) = c_iq_i(x), i=1,...,k+1pi(x)=ciqi(x),i=1,...,k+1.
结合 1° 2°， n = m, 并且将qi(x)q_i(x)qi(x)重排后，可以使得pi(x)=ciqi(x)(ci是零次多项式)p_i(x) = c_iq_i(x)(c_i是零次多项式)pi(x)=ciqi(x)(ci是零次多项式)。

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