函数连续的概念与性质（包括强制函数）

2024-05-16 19:44:44

令 $f: X \mapsto R^{m}$ 为一个函数，其中 $X$ 是 $R^n$ 的一个子集， $x$ 是 $X$ 中的一个向量。如果存在一个向量 $y\in R^m$ ，使得对于满足 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{k}=x$ 的每一个序列 $\left\{x_{k}\right\} \subset X$ ，都有 $\left\{f(x_{k})\right\}$ 收敛到 $y$ ，那么记 $\lim _{z \rightarrow x} f(z)=y$ 。如果存在一个向量 $y \in R^{m}$ ，使得对于满足 $\lim _{k \rightarrow \infty} x_{k}=x$ 且 $x_k\leqslant x,\forall k$ (对应地， $x_k \geqslant x,\forall k$ )的每一个序列 $\left\{x_{k}\right\} \subset X$ ，都有 $\left\{f(x_{k})\right\}$ 收敛到 $y$ ，那么记 $\lim _{z \uparrow x} f(z)=y$ [对应地， $\lim _{z \downarrow x} f(z)=y$ ]。

连续

对于函数 $f: X \mapsto R^{m}$ ，如果 $\lim _{z \rightarrow x} f(z)=f(x)$ 成立，则称函数 $f$ 在向量 $x \in X$ 处连续（continuous）。

对于实值函数 $f: X \mapsto R$ ，用ε-δ语言描述为：

如果 $\forall \varepsilon > 0$ ， $\exists \delta >0$ ，当 $x \in dom\ f$ ， $\left | x - x_0 \right | < \delta$ 时，有 $f(x_0)-\varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon$ ，则称函数 $f$ 是连续的。

左/右连续

对于函数 $f: X \mapsto R^{m}$ ，如果 $\lim _{z \downarrow x} f(z)=f(x)$ [对应地， $\lim _{z \uparrow x} f(z)=f(x)$ ]成立，则称函数 $f$ 在向量 $x \in X$ 处右连续（right-continuous）[对应地，左连续（left-continuous）]。

对于实值函数 $f: X \mapsto R$ ，用ε-δ语言描述为：

如果 $\forall \varepsilon > 0$ ， $\exists \delta >0$ ，当 $x \in dom\ f$ ， $0 < x - x_0 < \delta$ [对应地， $0 < x_0 - x < \delta$ ]时，有 $f(x_0)-\varepsilon < f(x) < f(x_0) + \varepsilon$ ，则称函数 $f$ 是右连续[对应地，左连续]的。

上/下半连续

对于实值函数 $f: X \mapsto R$ ，如果对于每一个收敛到 $x$ 的序列 $\left\{x_{k}\right\} \subset X$ ，都有 $f(x) \geqslant \lim \sup _{k \rightarrow \infty} f(x_{k})$ [对应地， $f(x) \leqslant \lim \inf _{k \rightarrow \infty} f(x_{k})$ ]，则称函数 $f$ 在向量 $x \in X$ 处上半连续（upper-continuous）[对应地，下半连续（lower-continuous）]。

用ε-δ语言描述为：

如果 $\forall \varepsilon > 0$ ， $\exists \delta >0$ ，当 $x \in dom\ f$ ， $\left | x - x_0 \right | < \delta$ 时，有 $f(x) < f(x_0) + \varepsilon$ [对应地， $f(x)>f(x_0)-\varepsilon$ ]，则称函数 $f$ 是上半连续[对应地，下半连续]的。

强制函数

函数 $f: X \mapsto R$ ，如果对于每一个满足 $\left \| x_k \right \|\rightarrow \infty$ 的序列 $\left\{x_{k}\right\} \subset X$ ，都有 $\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=\infty$ ，则称函数 $f$ 是强制的。

相关性质

(a) $R^n$ 上的任意范数是连续函数。

(b)令 $f: R^m \mapsto R^p$ 和 $g: R^n \mapsto R^{m}$ 为连续函数，复合函数 $f\cdot g: R^n \mapsto R^p$ 是一个连续函数，定义 $(f\cdot g)(x)=f(g(x))$ 。

(c)令 $f: R^n \mapsto R^{m}$ 连续，令 $Y$ 为 $R^m$ 上的一个开子集(对应地，闭子集)，那么 $Y$ 的原像 $\{ x \in R^n | f(x) \in Y \}$ 是开集(对应地，闭集)。

(d)令 $f: R^n \mapsto R^{m}$ 连续， $X$ 为 $R^n$ 上的一个紧子集，那么 $X$ 的像 $\{ f(x) |x \in X\}$ 也是紧集。

(e)令 $X$ 为 $R^n$ 上的闭子集， $f: X \mapsto R$ 在 $X$ 的所有点处下半连续，那么截集 $\{x\in X|f(x)\leqslant \gamma \}$ 对于所有的 $\gamma \in R$ 均是闭集。

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