确界原理证明其他实数完备性基本定理

确界原理：非空有界上（下）数集，必有上（下）确界

1.确界原理证明单调有界定理

单调有界定理：任何单调有界数列必有极限

证：不妨设 {an}\{ an \}{an}为有上界的递增数列.

由确界原理,数列 {an}\{ an \}{an}有上确界, 记 a=sup⁡{an}a=\sup \left\{a_{\mathrm{n}}\right\}a=sup{an} .

下面证明aaa 就是{an}\{ an \}{an}的极限.

事实上, 任给 ε>0\varepsilon>0ε>0, 按上确界的定义, 存在数列{an}\{ an \}{an}中某一项aNa_NaN , 使得

a−ε<aNa -\varepsilon< a_N a−ε<aN

又由{an}\{ an \}{an} 的递增性, 当n⩾Nn \geqslant {N}n⩾N时

a−ε<aN⩽ana-\varepsilon< a_{N} \leqslant a_{\mathrm{n}}a−ε<aN⩽an

另一方面,由于aaa 是{an}\{ an \}{an}的一个上界, 故对一切ana_nan 都有

an⩽a<a+εa_{n} \leqslant a< a+\varepsilonan⩽a<a+ε

所以当 n⩾N\mathrm{n} \geqslant \mathrm{N}n⩾N 时有

a−ε<an<a+εa-\varepsilon< a_{n}< a+\varepsilona−ε<an<a+ε

这就证得 lim⁡n→∞an=a\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=alimn→∞an=a .

同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.

2.确界原理证明区间套定理

区间套定理

设 {[an,bn]}n=1∞\{[a_{n}, b_{n}]\}_{n=1}^{\infty}{[an,bn]}n=1∞ 是一个闭区间套，即满足:

1)∀n,[an+1,bn+1]⊂[an,bn]1) \forall n, \left[a_{n +1}, b_{n +1}\right] \subset\left[a_{n}, b_{n}\right]1)∀n,[an+1,bn+1]⊂[an,bn]

2)lim⁡n→∞(bn−an)=02) \lim _{n \rightarrow \infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=02)limn→∞(bn−an)=0

存在唯一的实数ξ\xiξ，使得ξ∈[an,bn]\xi\in [a_{n}, b_{n}]ξ∈[an,bn], (n=1,2,…)(\mathrm{n}=1, 2, \ldots)(n=1,2,…)

证明:
存在性: 令 S={an}S = \{ an \}S={an} ,显然,SSS非空且有上界（任一 bnb_nbn 都是其上界）。

据确界原理，SSS有上确界，设supS=ξsup S =\xisupS=ξ.

现在，我们证明 ξ\xiξ属于每个闭区间 $[ a_n,b_n] , （ n = 1 ,2 ,…) $
显然

an⩽ξ,(n=1,2,…)a_n \leqslant \xi, (\mathrm{n}=1,2, \ldots)an⩽ξ,(n=1,2,…)

所以，我们只需证明对一切自然数 nnn，都有ξ⩽bn\xi \leqslant b_nξ⩽bn.

事实上，因为对一切自然数 nnn, bnb_nbn 都是 SSS 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有

ξ⩽bn\xi \leqslant b_nξ⩽bn

故我们证明了存在一实数ξ\xiξ，使得ξ∈[an,bn],（n=1,2，...)\xi\in [ a n, b n] , （ n =1,2 ，...)ξ∈[an,bn],（n=1,2，...)

唯一性: 假设还有另外一点ξ′∈R\xi^{\prime} \in Rξ′∈R 且 ξ′∈[an,bn]\xi^{\prime} \in\left[a_{n}, b_{n}\right]ξ′∈[an,bn], 则

∣ξ−ξ′∣≤∣an−bn∣→0\left|\xi-\xi^{\prime}\right| \leq\left|a_{n}-b_{n}\right| \rightarrow 0∣ξ−ξ′∣≤∣an−bn∣→0

即 ξ=ξ′\xi=\xi^{\prime}ξ=ξ′ 从而唯一性得证。

3. 确界原理证明有限覆盖定理

有限覆盖定理：闭区间 [a,b][ a , b ][a,b]的任一开覆盖 HHH 都有有限的子覆盖

证：

令S={x∣a<x⩽b,[a,x]能被H中有限个开区间覆盖}S=\{x \mid a< {x} \leqslant {b}, [a , x]能被H中有限个开区间覆盖\}S={x∣a<x⩽b,[a,x]能被H中有限个开区间覆盖}

显然 SSS 有上界,因HHH覆盖闭区间 [a,b][ a , b ][a,b]，所以，存在一个开区间(α,β)∈H( \alpha , \beta) \in H(α,β)∈H使a∈(α,β)a \in(\alpha, \beta)a∈(α,β) 取 x∈(α,β)x \in(\alpha, \beta)x∈(α,β), 则 [a,x][a, x][a,x] 能被 HHH中有限个开区间覆盖,从而x∈Sx\in Sx∈S, 故SSS 非空;

由确界原理存在 ζ=supS\zeta=\mathrm{s} u p Sζ=supS

现证 ζ=b\zeta={b}ζ=b 用反证法,若 ζ≠b\zeta \neq {b}ζ=b, 则 a<ζ<b\mathrm{a}< \zeta< {b}a<ζ<b 由 H\mathrm{H}H 覆盖闭区间 [a,b][ { a }, {b}][a,b], 一定存在 (α1,β1)∈H\left(\alpha_{1}, \mathrm{\beta}_{1}\right) \in \mathrm{H}(α1,β1)∈H, 使 ζ∈(α1,β1)\zeta \in\left(\alpha_{1}, \beta_{1}\right)ζ∈(α1,β1) 取 x1,x2x_{1}, x_{2}x1,x2 使

α1<x1<ζ<x2<β1\alpha_1< x_{1}< \zeta< x_2< \mathrm{\beta}_{1}α1<x1<ζ<x2<β1

且 x1∈Sx_1\in Sx1∈S 则 [a,x1][ a , x_1 ][a,x1] 能被 HHH中有限个开区间覆盖，把(α1,β1)( \alpha_1, \beta_1)(α1,β1)加进去，就推得 x2∈Sx_2\in Sx2∈S 这与 ζ=sup⁡S\zeta=\sup Sζ=supS 矛盾，故 ζ=b\zeta=\mathrm{b}ζ=b, 即定理结论成立

4. 确界原理证明聚点定理

证：

设SSS是直线上的有界无限点集，则由确界原理有η=supS,ξ=infS\eta=supS,\xi=infSη=supS,ξ=infS。若η,ξ\eta,\xiη,ξ中有一点不是 SSS 的孤立点，则显然就是 SSS 的一个聚点。

否则，令 E:{x∈R∣S中仅有有限个数小于 x}E:\{x \in R \mid S \text { 中仅有有限个数小于 } x\}E:{x∈R∣S 中仅有有限个数小于 x} 。显然 EEE 非空且有上界。令 η′=sup⁡E\eta^{\prime}=\sup Eη′=supE 则由 EEE 的构造方法可知， ∀ε>0\forall \varepsilon>0∀ε>0 必有 η′+ε∉E\eta^{\prime}+\varepsilon \notin Eη′+ε∈/E, 即 SSS 中有无限个数小于 η′+ε\eta^{\prime}+\varepsilonη′+ε 大于 η′\eta^{\prime}η′ 。所以 (η′−ε,η′+ε)\left(\eta^{\prime}-\varepsilon, \eta^{\prime}+\varepsilon\right)(η′−ε,η′+ε) 中含有 SSS 的无限个数，故 η′\eta^{\prime}η′ 是 SSS 的聚点。

5. 确界原理证明Cauchy收敛准则

Cauchy收敛准则
数列 {xn}\{{x}_{ n }\}{xn} 收敛∀ε>0,∃N\forall \varepsilon> 0, \exists {N}∀ε>0,∃N, 当 n,m>N{n}, {m}> {N}n,m>N 时有 ∣xn−xm∣<ε|x _n-{x}_{m}|< \varepsilon∣xn−xm∣<ε

证明：

必要性：

若lim⁡n→∞xn=x,\lim_{n \rightarrow \infty} x_{n}=x,limn→∞xn=x, 则对任意的ε>0,\varepsilon>0,ε>0,存在正整数 $N, $对一切 n>Nn>Nn>N, 有 xn−x<ε2x_{n}-x< \frac{\varepsilon}{2}xn−x<2ε .于是对一切m,n>Nm, n> Nm,n>N, 有

∣xm−xn∣≤∣xm−x∣+∣xn−x∣<ε2+ε2=ε\left|x_{m}-x_{n}\right| \leq\left|x_{m}-x\right|+\left|x_{n}-x\right|<\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon∣xm−xn∣≤∣xm−x∣+∣xn−x∣<2ε+2ε=ε

充分性：
构造非空有界数集 SSS ，因为欲证明数列 {xn}\{ x_n \}{xn}收敛，故数集 SSS 必须含有数列{xn}\{ x_n \}{xn}中的无限多个数，为此，令

S={x∣(−∞,x)∩{xn}是空集或有限点集 }S = \{ x \mid(-\infty, { x }) \cap\{ { x_n }\} \text { 是空集或有限点集 }\}S={x∣(−∞,x)∩{xn} 是空集或有限点集 }

由于满足CauchyCauchyCauchy收敛准则充分条件的数列是有界的，故知数列{xn}\{ x_n \}{xn}的下界 a∈Sa\in Sa∈S , 上界bbb 也是 SSS 的上界, 所以 SSS 是非空有上界的数集，由确界原理数集SSS有上确界ζ=supS\zeta=supSζ=supS

对 ε>0\varepsilon>0ε>0, (−∞,ζ)∩{xn}(-\infty, \zeta ) \cap \{ x_n \}(−∞,ζ)∩{xn} 是无限点集，否则，就与 ζ=supS\zeta = supSζ=supS 矛盾.

因 (−∞,ζ−ε)∩{xn}(-\infty, \zeta-\varepsilon) \cap\{ { x_n }\}(−∞,ζ−ε)∩{xn} 至多含有 {xn}\{ { x_n }\}{xn} 的有限多个点，故 (ζ−ε,ζ+ε)(\zeta-\varepsilon, \zeta +\varepsilon)(ζ−ε,ζ+ε) 含有${x_{ n }} $的无限多个点，

设 xnk∈(ζ−ε,ζ+ε),k=1,2,⋯,{x}_{n_k} \in(\zeta-\varepsilon, \zeta+\varepsilon), {k}=1, 2, \cdots,xnk∈(ζ−ε,ζ+ε),k=1,2,⋯, 且n1<n2<⋯{n}_{1}< {n}_{2}< \cdotsn1<n2<⋯取N1=max⁡{N,n1}{N}_{1}=\max \left\{{N}, {n}_{1}\right\}N1=max{N,n1}, 则当n>N1{n}> {N}_{1}n>N1 时，总存在 nk>N1{n} _{k}> {N}_{1}nk>N1使

xn−ζ⩽∣xn−xn∣+∣xn−ζ∣<2εx_{n}-\zeta \leqslant\left|x_{n}-x_{n}\right|+\left|x_{n}-\zeta\right|< 2 \varepsilonxn−ζ⩽∣xn−xn∣+∣xn−ζ∣<2ε

因此lim⁡n→∞xn=ζ\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\zetalimn→∞xn=ζ

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