聚点定理证明其他实数完备性定理

1、聚点定理证明确界原理

证

设SSS是一个有上界数集，则∃b∈R\exists b\in R∃b∈R使得∀x∈S\forall x\in S∀x∈S有x<bx< bx<b,取a∈Sa\in Sa∈S构造区间[a,b][a,b][a,b]。

定义性质PPP:区间中至少有一个数属于SSS且区间的右端点为SSS的一个上界。

利用二等分法容易构造出满足性质PPP的区间套{[an,bn]}\left\{\left[a_{n},b_{n}\right]\right\}{[an,bn]}

定义性质PPP:不能用HHH中有限个开区间覆盖。

(1)(1)(1)将[a,b][a,b][a,b]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质PPP，不妨记该区间为[a1,b1]\left[a_{1},b_{1}\right][a1,b1],则[a1,b1]⊂[a,b]\left[a_{1},b_{1}\right]\subset[a,b][a1,b1]⊂[a,b]

(2)(2)(2)将[a1,b1]\left[a_{1},b_{1}\right][a1,b1]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质PPP，不妨记该区间为[a2,b2]\left[a_{2},b_{2}\right][a2,b2],则[a2,b2]⊂[a1,b1]\left[a_{2},b_{2}\right]\subset\left[a_{1},b_{1}\right][a2,b2]⊂[a1,b1]

⋯\cdots⋯

(n)(n)(n)将[an−1,bn−1]\left[a_{n-1},b_{n-1}\right][an−1,bn−1]等分为两个子区间，则至少有一个具有性质PPP,不妨记该区间为[an,bn]\left[a_{n},b_{n}\right][an,bn],则[an,bn]⊂[an−1,bn−1]\left[a_{n},b_{n}\right]\subset\left[a_{n-1},b_{n-1}\right][an,bn]⊂[an−1,bn−1]

由此可得一个区间套{[an,bn]}\left\{\left[a_{n},b_{n}\right]\right\}{[an,bn]}且满足

bn−an=b−a2n→0→(1)b_{n}-a_{n}=\frac{b-a}{2^{n}}\rightarrow 0\rightarrow (1)bn−an=2nb−a→0→(1)

显然{bn}⊂[a,b]\left\{b_{n}\right\}\subset[a,b]{bn}⊂[a,b]且单调递减有下界。我们证明∃ξ∈R\exists\xi\in R∃ξ∈R，bn→ξb_{n}\rightarrow\xibn→ξ，(n→∞)(n\rightarrow\infty)(n→∞)。事实上,不妨设{bn}\left\{b_{n}\right\}{bn}有无穷个数，由聚点原理知{bn}\left\{b_{n}\right\}{bn}有聚点ξ\xiξ。

因此∀ε>0\forall\varepsilon> 0∀ε>0,∃N>0\exists N> 0∃N>0,使得bN∈U(ξ,ε)b_{N}\in U(\xi,\varepsilon)bN∈U(ξ,ε)且bN>ξb_{N}> \xibN>ξ。由于{bn}\left\{b_{n}\right\}{bn}单调递减，则易证∀n>N\forall n> N∀n>N有bn∈U(ξ,ε)b_{n}\in U(\xi,\varepsilon)bn∈U(ξ,ε)

由于bnb_{n}bn都为SSS的上界，(ξ∈U(ξ,ε))(\xi\in U(\xi,\varepsilon))(ξ∈U(ξ,ε))所以ξ\xiξ也为SSS的上界。

由(1)(1)(1)易证an→ξa_{n}\rightarrow\xian→ξ，(n→∞)(n\rightarrow\infty)(n→∞)。故∀ε>0\forall\varepsilon> 0∀ε>0，∃N1>0\exists N_{1}> 0∃N1>0,∀n>N1\forall n> N_{1}∀n>N1有an∈U(ξ,ε)a_{n}\in U(\xi,\varepsilon)an∈U(ξ,ε)。

从而可知∀n>N+N1\forall n> N+N_{1}∀n>N+N1,∃x∈S\exists x\in S∃x∈S,x∈[an,bn]⊂U(ξ,ε)x\in\left[a_{n},b_{n}\right]\subset U(\xi,\varepsilon)x∈[an,bn]⊂U(ξ,ε)即

ξ−ε<x≤ξ\xi-\varepsilon< x\leq\xiξ−ε<x≤ξ

故多为SSS的上确界。

2、聚点定理证明单调有界定理→设单调有界无穷数列

证

不妨设{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}是单调有上界无穷数列，即∃a,b∈R\exists a,b\in R∃a,b∈R,使得{xn}⊂[a,b]\left\{x_{n}\right\}\subset[a,b]{xn}⊂[a,b]。

故由聚点原理可知∃ξ∈R\exists\xi\in R∃ξ∈R，ξ\xiξ为{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}的聚点，即∀ε>0\forall\varepsilon> 0∀ε>0，U(ξ,ε)U(\xi,\varepsilon)U(ξ,ε)含有{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}中的无限多项。

由单调性易得知U(ξ,ε)U(\xi,\varepsilon)U(ξ,ε)外最多有{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}中的有限项，因此又极限的一种等价定义得:

lim⁡n→∞xn=ξ\lim_{{n}\rightarrow\infty}x_{n}=\xin→∞limxn=ξ

3、聚点定理证明区间套定理

即若{[an,bn]}\{[a_n,b_n]\}{[an,bn]}是一闭区间套，则存在唯一ξ\xiξ属于所有的闭区间[an,bn][a_n,b_n][an,bn],n=1,2,⋯n=1,2,\cdotsn=1,2,⋯

证:
存在性

设S={an}∪{bn}S=\{{a_n}\}\cup\{{b_n}\}S={an}∪{bn}则SSS是有界无限点集,由聚点定理得数集SSS聚点ζ\zetaζ，若存在一个ana_nan,使bn>an>ζ(n=1,2,…)b_n> {a}_{n}> \zeta({n}=1,2,\ldots)bn>an>ζ(n=1,2,…)

再取ε=12(an−ζ)\varepsilon=\frac{1}{2}({a}_{n}-\zeta)ε=21(an−ζ),由{an}\left\{{a}_{{n}}\right\}{an}的单调性，当n>N{n}>{N}n>N时,an>aN>ζ+ε{a}_{n}> {a}_{N}> \zeta+\varepsilonan>aN>ζ+ε这样,(ζ−ε，ξ+ε)(\mathcal{\zeta}-\varepsilon，\xi+\varepsilon)(ζ−ε，ξ+ε)内至多有SSS中的有限多个点这与ξ\xiξ是聚点矛盾,于是得到ζ⩾an（n=1,2,⋯)\zeta\geqslant{a}n（n=1,2,\cdots)ζ⩾an（n=1,2,⋯)

同理可证，ζ⩽bn(n=1,2,⋯)\zeta\leqslant{b}_{{n}}({n}=1,2,\cdots)ζ⩽bn(n=1,2,⋯)因此，有ζ∈∩n=1∞[an,bn]\zeta\in\cap_{{n}=1}^{\infty}\left[a_n,b _n\right]ζ∈∩n=1∞[an,bn]

唯一性

最后证明满足ξ\xiξ是唯一的.设数ξ′\xi'ξ′也满足

an⩽ξ′⩽bn,n=1,2,⋯→(1){a}_{{n}}\leqslant\xi^{\prime}\leqslant{b}_{{n}},{n}=1,2,\cdots\rightarrow(1) an⩽ξ′⩽bn,n=1,2,⋯→(1)

因为an⩽ξ⩽bn,n=1,2,⋯,→(2){a}_{{n}}\leqslant\xi\leqslant{b}_{{n}},{n}=1,2,\cdots, \rightarrow(2)an⩽ξ⩽bn,n=1,2,⋯,→(2)

则由(1)(2)(1)(2)(1)(2)式有

∣ξ−ξ′∣⩽bn−an,n=1,2,⋯\left|\xi-\xi^{\prime}\right|\leqslant b_{n}-a_{n},n=1,2,\cdots∣ξ−ξ′∣⩽bn−an,n=1,2,⋯

由区间套的条件得

∣ξ−ξ′∣≤lim⁡n→∞(bn−an)=0\left|\xi-\xi^{\prime}\right|\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left(b_{n}-a_{n}\right)=0∣ξ−ξ′∣≤n→∞lim(bn−an)=0

故有ξ‘=ξ\xi‘=\xiξ‘=ξ.唯一性即证。

4、聚点定理证明有限覆盖定理

即闭区间[a,b][a,b][a,b]的任一开覆盖HHH都有有限的子覆盖.

证

(1)(1)(1)找一个使它具有与性质ppp相反的性质p−1p^{-1}p−1的数集SSS;

为此我们先证明δ>0\delta> 0δ>0,x∈[a,b]x\in[{a},b]x∈[a,b],有开区间(α0,β0)∈H(\alpha_{0},\beta_{0})\in{H}(α0,β0)∈H,使(x−δ,x+δ)⊂(a0,β0)(x-\delta,x+\delta)\subset\left(a_{0},\beta_{0}\right)(x−δ,x+δ)⊂(a0,β0).

否则,

∃x1∈[a,b]\exists x_{1}\in[{a},b]∃x1∈[a,b]对任意的(α,β)∈H(\alpha,\beta)\in{H}(α,β)∈H,都有

(x1−1,x1+1)⊄(α,β)\left({x}_{1}-1,{x}_{1}+1\right)\not\subset(\alpha,\beta)(x1−1,x1+1)⊂(α,β)

∃x2∈[a,b]−{x1}\exists{x}_{2}\in[{a},{b}]-\left\{{x}_{1}\right\}∃x2∈[a,b]−{x1},对任意的(α,β)∈H(\alpha,\beta)\in{H}(α,β)∈H,都有

(x2−12,x2+12)⊄(α,β)({x}_{2}-\frac{1}{2},{x}_{2}+\frac{1}{2})\not\subset(\alpha,\beta)(x2−21,x2+21)⊂(α,β)

如此继续得一数列{xn}\{{x}_{n}\}{xn},xn∈[a,b]−{x1,x2,⋯,xn−1}x_{n}\in[a,b]-\left\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n-1}\right\}xn∈[a,b]−{x1,x2,⋯,xn−1},对任意的(α,β)∈H(\alpha,\beta)\in{H}(α,β)∈H,都有

(xn−1n,xn+1n)⊄(a,β)\left(x_{n}-\frac{1}{n},x_{n}+\frac{1}{n}\right)\not\subset(a,\beta)(xn−n1,xn+n1)⊂(a,β)

(2)(2)(2)显然数集{xn}\{x_n\}{xn}是有界无限点集;

(3)(3)(3)由聚点定理，数列{xn}\{x_n\}{xn}有聚点ζ\zetaζ;

(4)(4)(4)由{xn}⊂[a,b]\left\{x_{n}\right\}\subset[{a},b]{xn}⊂[a,b],得ζ∈[a,b]\zeta\in[{a},{b}]ζ∈[a,b],故存在一个开区间(α1,β1)∈H(\alpha_{1},\beta_{1})\in{H}(α1,β1)∈H,使ζ∈(α1,β1)\zeta\in\left(\alpha_{1},\beta_{1}\right)ζ∈(α1,β1)

令δ1=min{ζ−a1,β1−ζ}\delta_{1}={m}{i}{n}\left\{\zeta-{a}_{1},\beta_{1}-\zeta\right\}δ1=min{ζ−a1,β1−ζ},则存在自然数N{N}N,使

N>2δ1，xN∈(ξ−δ12,ζ+δ12){N}> \frac{2}{\delta_{1}}，{x}_{N}\in\left(\xi-\frac{\delta_{1}}{2},\zeta+\frac{\delta_{1}}{2}\right)N>δ12，xN∈(ξ−2δ1,ζ+2δ1)

从而，(ζ−1N,ζ+1N)⊂(a1,β1)\left(\zeta-\frac{1}{{N}},\zeta+\frac{1}{{N}}\right)\subset\left({a}_{1},\beta_{1}\right)(ζ−N1,ζ+N1)⊂(a1,β1)矛盾

现在，我们取

n=[b−aδ1]+1，xi=a+2i+12n(b−a),i=0,1,2,⋯{n}=\left[\frac{{b}-{a}}{\delta_{1}}\right]+1，{x}_{{i}}={a}+\frac{2{i}+1}{2{n}}({b}-{a}),{i}=0,1,2,\cdotsn=[δ1b−a]+1，xi=a+2n2i+1(b−a),i=0,1,2,⋯

设(xi−δ,xi+δ)⊂(ai,bi)∈H,i=0,1,2,⋯\left(x_{i}-\delta,x_{i}+\delta\right)\subset\left(a_{i},b_{i}\right)\in H,i=0,1,2,\cdots(xi−δ,xi+δ)⊂(ai,bi)∈H,i=0,1,2,⋯则

Ui=0n−1(ai,bi)⊃Ui=0n−1(xi−δ,xi+δ)⊃[a,b]U_{i=0}^{n-1}\left(a_{i},b_{i}\right)\supset U_{i=0}^{n-1}\left(x_{i}-\delta,x_{i}+\delta\right)\supset[a,b]Ui=0n−1(ai,bi)⊃Ui=0n−1(xi−δ,xi+δ)⊃[a,b]

因此所需结论成立。

5、聚点定理证明Cauchy收敛准则→柯西列

证明:

设{xn}\{x_n\}{xn}是一CauchyCauchyCauchy列，则知{xn}\{x_n\}{xn}是有界的。若{xn}\{x_n\}{xn}中只有有限多个项不相同，那么必有一项譬如xnox_{no}xno出现无限多次，这时就得到{xn}\{x_{n}\}{xn}的一个收敛子列{xnk}\{x_{nk}\}{xnk}

又因为{xn}\{x_{n}\}{xn}是CauchyCauchyCauchy列，故对ε>0\varepsilon> 0ε>0,存在自然数NNN,当n>m>N{n}> {m}> {N}n>m>N时

∣xn−xm∣<ε\left|x_{n}-x_{m}\right|< \varepsilon∣xn−xm∣<ε

特别地，当n>Nn> {N}n>N,k>N{k}> {N}k>N时由于nk>k>N{n}_{k}> {k}> {N}nk>k>N,从而

∣xn−xnk∣<ε\left|x_{n}-x_{nk}\right|< \varepsilon∣xn−xnk∣<ε

令k→∞{k}\rightarrow\inftyk→∞,得∣xn−xn0∣⩽ε\left|{x}_{n}-{x}_{n0}\right|\leqslant\varepsilon∣xn−xn0∣⩽ε即

lim⁡n→∞xn=xn0\lim_{{n}\rightarrow\infty}{x}_{n}={x}_{{n}_{0}}n→∞limxn=xn0

若{xn}\{x_{n}\}{xn}中有无限多项互不相同，则数集S={xn}S=\{{x}_{n}\}S={xn}是一有界无限点集,

根据聚点定理，SSS至少有一聚点ξ\xiξ，

由聚点的定义，对任意的自然数kkk，在U(ζ，1k)U(\zeta，\frac{1}{k})U(ζ，k1)中，必含有{xn}\{x_{n}\}{xn}的无限多项，

从而在U(ζ，1k)U(\zeta，\frac{1}{k})U(ζ，k1)中可选出一项xnkx_{nk}xnk且xnk≠ξx_{nk}\ne \xixnk=ξ，由于kkk的任意性，所以

lim⁡n→∞xnk=ζ\lim_{{n}\rightarrow\infty}{x}_{nk}=\zetan→∞limxnk=ζ

同上可知,lim⁡n→∞xn=ζ\lim_{{n}\rightarrow\infty}{x}_{{n}}=\zetalimn→∞xn=ζ