Cauchy收敛准则证明其他实数完备性定理

1、Cauchy收敛准则证明确界原理

证：

设SSS为非空有上界数集.由实数的阿基米德性,对任何正数aaa，存在整数KaK_aKa,使得λa=kaa\lambda_{a}={k}_aaλa=kaa为SSS的上界,而λa−a=(ka−1)a\lambda_{a}-a=\left(k_{a}-1\right)aλa−a=(ka−1)a不是SSS的上界，即存在a′∈S{a}^{\prime}\in{S}a′∈S,使得a′>(ka−1)a{a}^{\prime}> \left({k}_{{a}}-1\right){a}a′>(ka−1)a

分别取a=1n,n=1,2,⋯a=\frac{1}{{n}},{n}=1,2,\cdotsa=n1,n=1,2,⋯,则对每一个正整数nnn,存在相应的λn\lambda_{n}λn,使得λn\lambda_{n}λn为SSS的上界,而
λn−1n\lambda_{n}-\frac{1}{n}λn−n1不是SSS的上界,故存在a′∈Sa^{\prime}\in{S}a′∈S,使得a′>λn−1na'> \lambda_{{n}}-\frac{1}{{n}}a′>λn−n1

又对正整数mmm，λm\lambda_mλm是SSS的上界,故有λm⩾a′\lambda_{{m}}\geqslant{a}^{\prime}λm⩾a′.结合(6)(6)(6)式得

λn−λm<1n\lambda_{{n}}-\lambda_{{m}}< \frac{1}{{n}}λn−λm<n1

同理有

λm−λn<1m\lambda_{{m}}-\lambda_{{n}}< \frac{1}{{m}}λm−λn<m1

从而得

∣λm−λn∣<max⁡{1n,1m}\left|\lambda_{{m}}-\lambda_{{n}}\right|< \max\left\{\frac{1}{{n}},\frac{1}{{m}}\right\}∣λm−λn∣<max{n1,m1}

于是,对任给的ε>0\varepsilon> 0ε>0,存在N>0N> 0N>0,使得当m,n>Nm,n> Nm,n>N时有

∣λm−λn∣<ε\left|\lambda_{{m}}-\lambda_{{n}}\right|< \varepsilon∣λm−λn∣<ε

由柯西收剑准则,数列{λn}收敛\textcolor{teal}{数列\{\lambda_n\}收敛}数列{λn}收敛.记

lim⁡n→∞λn=λ→(1)\lim_{n\rightarrow\infty}\lambda_{n}=\lambda\rightarrow(1)n→∞limλn=λ→(1)

现在证明λ就是S的上确界.\textcolor{teal}{现在证明\lambda就是S的上确界.}现在证明λ就是S的上确界.

首先,对任何a∈Sa\in Sa∈S和正整数nnn有a≤λna\le\lambda_{{n}}a≤λn,由(1)(1)(1)式得a≤λa\le\lambdaa≤λ,即λ\lambdaλ是SSS的一个上界.其次,对任何δ>0\delta> 0δ>0,由1n→0(n→∞)\frac{1}{{n}}\rightarrow0({n}\rightarrow\infty)n1→0(n→∞)及(1)(1)(1)式,对充分大的nnn，同时有

1n<δ2，λn>λ−δ2\frac{1}{n}< \frac{\delta}{2}，\lambda_{n}> \lambda-\frac{\delta}{2}n1<2δ，λn>λ−2δ

又因λn−1n\lambda_{{n}}-\frac{1}{{n}}λn−n1不是SSS的上界,故存在a′∈Sa^{\prime}\in{S}a′∈S,使得

a′>λn−1na^{\prime}> \lambda_{{n}}-\frac{1}{{n}}a′>λn−n1

结合上式得

a′>λn−1n>λ−δ2−δ2=λ−δa'> \lambda_{{n}}-\frac{1}{{n}}> \lambda-\frac{\delta}{2}-\frac{\delta}{2}=\lambda-\deltaa′>λn−n1>λ−2δ−2δ=λ−δ

这说明λ\lambdaλ为SSS的上确界。

同理可证:若SSS为非空有下界数集,则必存在下确界.

2、Cauchy收敛准则证明单调有界定理

证

不妨设{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}为单增有上界数列。

假设{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}无极限，CauchyCauchyCauchy收剑准则可知，∃ε0>0\exists\varepsilon_{0}> 0∃ε0>0,∀N>0\forall N> 0∀N>0,∃m>n>N\exists m> n> N∃m>n>N,但是

xn>xm+ε0x_{n}> x_{m}+\varepsilon_{0}xn>xm+ε0

由NNN的任意性，不难得到{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}的一个严格单增的子列{xnk}\left\{x_{n_{k}}\right\}{xnk},满足

xnk+1>xnk+ε0>xnk−1+2ε0>⋯>xn1+kε0x_{n_{k+1}}> x_{n_{k}}+\varepsilon_{0}> x_{n_{k-1}}+2\varepsilon_{0}> \cdots> x_{n_{1}}+k\varepsilon_{0}xnk+1>xnk+ε0>xnk−1+2ε0>⋯>xn1+kε0

由于ε0>0\varepsilon_{0}> 0ε0>0,k>0k> 0k>0,所以当k→∞k\rightarrow\inftyk→∞时，有xnk+1→+∞x_{n_{k+1}}\rightarrow+\inftyxnk+1→+∞。这与{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}为有界数列
矛盾，故{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}收敛

3、Cauchy收敛准则证明区间套定理

证
存在性
构造区间套\textcolor{teal}{构造区间套}构造区间套

设{[an,bn]}\left\{\left[a_{n},b_{n}\right]\right\}{[an,bn]}是CantorCantorCantor区间套则由bn−an→0,(n→∞b_{n}-a_{n}\rightarrow0,(n\rightarrow\inftybn−an→0,(n→∞可知,∀ε>0\forall\varepsilon> 0∀ε>0，∃N>0\exists N> 0∃N>0,n>Nn> Nn>N时,有∣an−bn∣<ε)\left|a_{n}-b_{n}\right|< \varepsilon)∣an−bn∣<ε)

由于{an}\left\{a_{n}\right\}{an}单调递增，{bn}\left\{b_{n}\right\}{bn}中的每一个元素都为{an}\left\{a_{n}\right\}{an}的上界。故∀m>n>N\forall m> n> N∀m>n>N,则有

an≤am≤bm≤bn{a}_{{n}}\leq{a}_{{m}}\leq{b}_{{m}}\leq{b}_{{n}}an≤am≤bm≤bn

所以

∣am−an∣=am−an≤bn−an=∣an−bn∣<ε\begin{array}{l} \left|{a}_{{m}}-{a}_{{n}}\right|={a}_{{m}}-{a}_{{n}}\leq{b}_{{n}}-{a}_{{n}}=\left|{a}_{{n}}-{b}_{{n}}\right|< \varepsilon \end{array}∣am−an∣=am−an≤bn−an=∣an−bn∣<ε

∣bm−bn∣=bn−bm≤bn−an=∣an−bn∣<ε\begin{array} {l} |b_{m}-b_{n}|=b_{n}-b_{m}\leq b_{n}-a_{n}=|a_{n}-b_{n}|< \varepsilon \end{array}∣bm−bn∣=bn−bm≤bn−an=∣an−bn∣<ε

故由Cauchy收敛准则可知{an},{bn}收敛\textcolor{red}{故由Cauchy收敛准则可知\{a\left._{{n}}\right\},\left\{{b}_{{n}}\right\}收敛}故由Cauchy收敛准则可知{an},{bn}收敛,

lim⁡n→∞an=lim⁡n→∞bn=r\lim_{{n}\rightarrow\infty}{a}_{{n}}=\lim_{{n}\rightarrow\infty}{b}_{{n}}={r}n→∞liman=n→∞limbn=r

下证r∈[an,bn]\textcolor{teal}{下证{r}\in\left[{a}_{{n}},{b}_{{n}}\right]}下证r∈[an,bn]，用反证法\textcolor{red}{反证法}反证法

若∃N1\exists{N}_{1}∃N1,使r<aN1{r}< {a}_{{N}_{1}}r<aN1,由{an}\left\{{a}_{{n}}\right\}{an}单调递增\textcolor{red}{递增}递增知n>N1n> {N}_{1}n>N1时，an>aN1>r{a}_{{n}}> {a}_{{N}_{1}}> {r}an>aN1>r，同理

若∃N2\exists N_{2}∃N2,使r>aN2r> {a}_{{N}_{2}}r>aN2,由{bn}\left\{{b}_{{n}}\right\}{bn}单调递减\textcolor{red}{递减}递减知n>N2n> {N}_{2}n>N2时，r>bn>bN2{r}> {b}_{{n}}> b_{{N}_{2}}r>bn>bN2

所以∣bn−r∣=r−bn≥0\left|{b}_{{n}}-{r}\right|={r}-{b}_{{n}}\geq0∣bn−r∣=r−bn≥0,两边取极限有0≤lim⁡n→∞(r−bn)<00\leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left({r}-{b}_{{n}}\right)< 00≤limn→∞(r−bn)<0,矛盾

故r∈[an,bn]r\in\left[{a}_{{n}},{b}_{{n}}\right]r∈[an,bn]

唯一性

最后证明满足r是唯一的.\textcolor{teal}{最后证明满足r是唯一的.}最后证明满足r是唯一的.

设数r’也满足

an⩽r′⩽bn,n=1,2,⋯{a}_{{n}}\leqslant{r}^{\prime}\leqslant{b}_{{n}},{n}=1,2,\cdotsan⩽r′⩽bn,n=1,2,⋯

因为an⩽r⩽bn,n=1,2,⋯{a}_{{n}}\leqslant{r}\leqslant{b}_{{n}},{n}=1,2,\cdotsan⩽r⩽bn,n=1,2,⋯,
则由(1)(2)(1)(2)(1)(2)式有

∣r−r′∣⩽bn−an,n=1,2,⋯\left|{r}-{r}^{\prime}\right|\leqslant{b}_{{n}}-{a}_{{n}},{n}=1,2,\cdots∣r−r′∣⩽bn−an,n=1,2,⋯

由区间套的条件得

∣r−r′∣≤lim⁡n→∞(bn−an)=0\left|{r}-{r}^{\prime}\right|\leq\lim_{{n}\rightarrow\infty}({b}_{n}-{a}_{n})=0∣r−r′∣≤n→∞lim(bn−an)=0

故有r′=rr' = rr′=r.唯一性即证。

4、Cauchy收敛准则证明有限覆盖定理

即闭区间[a,b][a,b][a,b]的任一开覆盖HHH都有有限的子覆盖

证

(1)(1)(1)在[a,b][a,b][a,b]上选取一数列{xn}\{x_n\}{xn},使得

(xn−1n,xn+1n)∩[a,b](x_n-\frac{1}{n},x_n+\frac{1}{n})\cap[{a},{b}](xn−n1,xn+n1)∩[a,b]

具有与性质p\textcolor{red}{具有与性质p}具有与性质p:闭区间[a,b][a,b][a,b]能被HHH中有限个开区间覆盖,

相反的性质p−1\textcolor{red}{相反的性质p^{-1} }相反的性质p−1:闭区间[a,b][a,b][a,b]不能被HHH中有限个开区间覆盖;

若[a,b][a,b][a,b]具有性质p−1p^{-1}p−1,则x1∈[a,b]x_{1}\in[{a},{b}]x1∈[a,b],使(x1−1,x1+1)∩[a,b]\left(x_{1}-1,x_{1}+1\right)\cap[{a},{b}](x1−1,x1+1)∩[a,b]具有性质p−1p^{-1}p−1，否则，[a,b][a,b][a,b]具有性质ppp,如此继续,得一数列{xn}\{x_n\}{xn},使

⋂k=1n(xk−1k,xk+1k)∩[a,b]\bigcap_{{k}=1}^{n}\left(x_{{k}}-\frac{1}{{k}},x_{{k}}+\frac{1}{{k}}\right)\cap[{a},{b}]k=1⋂n(xk−k1,xk+k1)∩[a,b]

具有性质p−1p^{-1}p−1

(2)(2)(2)因为

∣xn−xm∣⩽max⁡{1n,1m}\left|x_{n}-x_{{m}}\right|\leqslant\max\left\{\frac{1}{n},\frac{1}{{m}}\right\}∣xn−xm∣⩽max{n1,m1}

所以,数列{xn}\{x_n\}{xn}满足CauchyCauchyCauchy收敛准则的条件;

(3)(3)(3)由CauchyCauchyCauchy收敛准则得,

ζ=lim⁡n→∞xn\zeta=\lim_{n\rightarrow\infty}x_nζ=n→∞limxn

(4)(4)(4)显然,ζ∈[a,b]\zeta\in[{a},{b}]ζ∈[a,b]存在开区间(α,β)∈H(\alpha,\beta)\in H(α,β)∈H,使ζ∈(α,β)\zeta\in(\alpha,\beta)ζ∈(α,β)又由lim⁡n→∞xn=ζ\lim_{n\rightarrow\infty}x_n=\zetalimn→∞xn=ζ,存在xnx_nxn,使

(xn−1n,xn+1n)⊂(α,β)\left(x_n-\frac{1}n,x_n+\frac{1}n\right)\subset(\alpha,\beta)(xn−n1,xn+n1)⊂(α,β)

这与

(xn−1n,xn+1n)\left(x_n-\frac{1}n,x_n+\frac{1}n\right)(xn−n1,xn+n1)

具有性质p−1p^{-1}p−1矛盾。

5、Cauchy收敛准则证明聚点定理

即任一非空有界无限点集SSS必有聚点
证：
(1)(1)(1)取aaa为SSS的下界，对任意固定的自然数nnn，存在自然数knk_nkn,使xn=a+knn{x}_{n}={a}+\frac{{k}_{n}}{n}xn=a+nkn满足

1)S∩(xn,+∞)1)S\cap({x}_{n,}{+\infty})1)S∩(xn,+∞)至多为有限点集;

2)S∩(xn−1n,+∞)2){S}\cap\left({x}_{n}-\frac{1}{{n}},+\infty\right)2)S∩(xn−n1,+∞)为无限点集

(2)(2)(2)由(1)(1)(1)对任意自然数n、mn、mn、m,xn−1n<xmx_n-\frac{1}{{n}} <{x}_mxn−n1<xm，这是因为，若存在n,m{n},{m}n,m使xn−1n⩾xm{x}_{n}-\frac{1}{{n}}\geqslant{x}_{m}xn−n1⩾xm
则

S∩(xn−1n,+∞)⊂S∩(xm,+∞){S}\cap\left({x}_{n}-\frac{1}{{n}},+\infty\right)\subset{S}\cap({x}_{m},+\infty)S∩(xn−n1,+∞)⊂S∩(xm,+∞)

这与1)、2)1)、2)1)、2)矛盾，从而

xn−xm∣⩽max⁡{1n,1m}x_{n}-x_{m}\mid\leqslant\max\left\{\frac{1}{n},\frac{1}{m}\right\}xn−xm∣⩽max{n1,m1}

因此{xn}\left\{x_{n}\right\}{xn}满足CauchyCauchyCauchy收敛准则

(3)(3)(3)由CauchyCauchyCauchy收敛准则得，ζ=lim⁡n→∞xn\zeta=\lim_{n\rightarrow\infty}{x}_nζ=limn→∞xn

(4)(4)(4)对ε>0\varepsilon> 0ε>0,由于lim⁡n→∞(xn−1n)=ζ\lim_{n\rightarrow\infty}\left({x}_{{n}}-\frac{1}{{n}}\right)=\zetalimn→∞(xn−n1)=ζ,所以存在n0{n}_0n0使得

xn0,xn0−1n0∈(ζ−ε,ζ+ε)x_{n_{0}},x_{n_{0}}-\frac{1}{n_{0}}\in(\zeta-\varepsilon,\zeta+\varepsilon)xn0,xn0−n01∈(ζ−ε,ζ+ε)

从而
S∩(xn0−1n0,+∞)⊂S∩(ζ−ε,+∞)S\cap\left(x_{n_{0}}-\frac{1}{n_{0}},+\infty\right)\subset S\cap(\zeta-\varepsilon,+\infty)S∩(xn0−n01,+∞)⊂S∩(ζ−ε,+∞)

由2)2)2)得S∩(ζ−ε,+∞)S\cap(\zeta-\varepsilon,+\infty)S∩(ζ−ε,+∞)是无限点集，又

S∩(ζ+ε,+∞)⊂S∩(Xn0,+∞){S}\cap(\zeta+\varepsilon,+\infty)\subset{S}\cap\left({X}_{{n}_{0}},+\infty\right)S∩(ζ+ε,+∞)⊂S∩(Xn0,+∞)

由1)1)1)得S∩(ξ+ε,+∞)S\cap(\xi+\varepsilon,+\infty)S∩(ξ+ε,+∞)至多是有限点集，因此

S∩(ζ−ε,ζ+ε)S\cap(\zeta-\varepsilon,\zeta+\varepsilon)S∩(ζ−ε,ζ+ε)

是无限点集，即ζ\zetaζ是SSS的聚点