多元函数第一：实数系统（2）确界原理

在实数的三大公理中，确界原理是分析学的基础。确界原理说，任何有上界的集合都有上确界。由此，我们可以推导出，任何有下界的集合都有下确界。本文将证明这个结论。

在证明的过程中，我们发现，很多结论都是显而易见的。但是，这些显而易见的结论都需要证明。因为整个分析学的理论是建立在三条公理的基础上。任何没有被公理声明的结论，都需要证明。这就是一个理论体系公理化的过程。

首先，引入几条“显而易见”的引理。

引理1. 若x<y则-x>-y。若x>y则-x<-y。

证明. 我们用反证法证明该引理的第一个结论。第二个结论同理可证。

假设x<y成立。

若-x=-y，则由题设的x<y和实数的三大公理中公理2的结论(c)知 0=x+(-x)=x+(-y)<y+(-y)=0。矛盾。

若-x<-y，则有0=x+(-x)<x+(-y)<y+(-y)=0。矛盾。

这样，只能有-x>-y成立。证毕。

由引理1可以得出。

推论1. 若 $x\geq y$ ，则 $-y\leq -x$ 。若 $x\leq y$ 则 $-y\geq -x$ 。

证明. 推论1是引理1的逆否命题。证毕。

接下来，仿照上界和上确界的定义，我们给出下界和下确界的定义。

定义. 对于实数域上的一个子集S，如果存在实数c满足 $x \geq c$ 对一切的 $x\in S$ 成立，则称c为集合S的下界。

定义. 对于实数域上的一个子集S，如果实数c是它的下界，且对于任意的 $\epsilon > 0$ 都存在 $x\in S$ 使得 $x-\epsilon < c$ ，则称c是集合S的下确界。

为了推导关于下界的确界引理，对于任意的集合S，我们定义 $-S=\{-x: x\in S\}$ 为S中所有元素的加法逆元（也即相反数）组成的集合。

引理2. 实数域上的非空集合S有下界，当且仅当-S有上界。

证明. 我们只需证明“当”，“仅当”部分证明类似。设-c（c的加法逆元）为集合-S的上界，我们证明c为S的下界。对于任意的 $x\in S$ ，必然有 $-x \in -S$ 。由于-c是-S的上界，故有 $-x\leq -c$ 。由推论1可知， $x\geq c$ 。又由于x是任意的，故而c是S的下界。证毕。

定理. 若实数域上的非空集合S有下界，则它有下确界。

证明. 因为集合有下界，故由引理2，集合-S有上界。又由确界原理，集合-S有上确界，记为-c。接下来，我们证明c是集合S的下确界。

首先，c必然是集合S的下界，这一点的证明可以参照引理2的证明。另一方面，由上确界的定义，对任意的 $\epsilon > 0$ ，都存在 $-x\in -S$ 使得 $-x+\epsilon > -c$ 。由引理1又得到 $x-\epsilon < c$ 。这里的 $\epsilon$ 是任意的，而 $x\in S$ 。因此，根据定义，c是集合S的下确界。证毕。

与上确界一样，集合的下确界也是唯一的。通常，我们将集合S的下确界记为inf S。特别地，当下确界属于集合S，则记inf S = min S。

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