bzoj 3208 食物(生成函数)

先推一下生成函数
承德汉堡：偶数个
1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . . . . . = 1 1 − x 2 1+x^2+x^4+x^6+...... =\frac{1}{1-x^2} 1+x2+x4+x6+......=1−x21
可乐：0个或1个
1 + x = 1 − x 2 1 − x 1+x=\frac{1-x^2}{1-x} 1+x=1−x1−x2
鸡腿：0个或1个或2个
1 + x + x 2 = 1 − x 3 1 − x 1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x} 1+x+x2=1−x1−x3
蜜桃多：奇数个
x + x 3 + x 5 + . . . . . . = x 1 − x 2 x+x^3+x^5+......=\frac{x}{1-x^2} x+x3+x5+......=1−x2x
鸡块：四的倍数个
1 + x 4 + x 8 + x 12 + . . . . . . = 1 1 − x 4 1+x^4+x^8+x^{12}+......=\frac{1}{1-x^4} 1+x4+x8+x12+......=1−x41
包子：0个或1个或2个或3个
1 + x + x 2 + x 3 = 1 − x 4 1 − x 1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x} 1+x+x2+x3=1−x1−x4
土豆片炒肉：不超过一个
1 + x = 1 − x 2 1 − x 1+x=\frac{1-x^2}{1-x} 1+x=1−x1−x2
面包：三的倍数个
1 + x 3 + x 6 + x 9 + . . . . . . = 1 1 − x 3 1+x^3+x^6+x^9+......=\frac{1}{1-x^3} 1+x3+x6+x9+......=1−x31
总生成函数：
1 1 − x 2 × 1 − x 2 1 − x × 1 − x 3 1 − x × x 1 − x 2 × 1 1 − x 4 × 1 − x 4 1 − x × 1 − x 2 1 − x × 1 1 − x 3 = x ( 1 − x ) 4 \frac{1}{1-x^2}\times\frac{1-x^2}{1-x}\times\frac{1-x^3}{1-x}\times\frac{x}{1-x^2}\times\frac{1}{1-x^4}\times\frac{1-x^4}{1-x}\times\frac{1-x^2}{1-x}\times\frac{1}{1-x^3}=\frac{x}{{(1-x)}^4} 1−x21×1−x1−x2×1−x1−x3×1−x2x×1−x41×1−x1−x4×1−x1−x2×1−x31=(1−x)4x
跟据广义二项式定理答案即为 x n − 1 x^{n-1} xn−1的系数
a n s = C n − 1 + 4 4 − 1 = n ∗ ( n + 1 ) ∗ ( n + 2 ) 6 ans=C_{n-1+4}^{4-1}=\frac{n*(n+1)*(n+2)}{6} ans=Cn−1+44−1=6n∗(n+1)∗(n+2)

所以可以边读边膜，代码如下：

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define mod 10007
using namespace std;string tmp;
long long n;long long inv(long long a)
{int b=mod-2,ans=1;while(b){if(b&1) ans=ans*a%mod;a=a*a%mod;b>>=1;}return ans;
}int main()
{cin>>tmp;for(int i=0;i<tmp.length();i++){n=(n*10+tmp[i]-'0')%mod;}printf("%lld\n",((n*(n+1)%mod)*(n+2)%mod)*inv(6)%mod);
}

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