bzoj3028 食物生成函数+广义二项式定理

首先我们有一些函数推收敛式的套路。

（这些是知名伪证，结论是对的，但是证明过程是胡扯）比如对于y=1+x+x2y=1+x+x^2y=1+x+x2 ，我们知道xy=x+x2+x3xy=x+x^2+x^3xy=x+x2+x3，所以有xy−x3=y−1xy-x^3=y-1xy−x3=y−1，即y=1−x31−xy=\frac{1-x^3}{1-x}y=1−x1−x3。用类似的方法，我们还可以知道∑i=0inf=11−x\sum_{i=0}^{inf}=\frac{1}{1-x}∑i=0inf=1−x1等。

然后我们写一下所有食物的生成函数：
汉堡：∑i=0infx2i=11−x2\sum_{i=0}^{inf} x^{2i} =\frac{1}{1-x^2}∑i=0infx2i=1−x21
可乐：1+x1+x1+x
鸡腿：1+x+x2=1−x31−x1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}1+x+x2=1−x1−x3
蜜桃多：∑i=0infxi−∑i=0infx2i=x1−x2\sum_{i=0}^{inf} x^i -\sum_{i=0}^{inf} x^{2i}=\frac{x}{1-x^2}∑i=0infxi−∑i=0infx2i=1−x2x
鸡块：∑i=0infx4i=11−x4\sum_{i=0}^{inf} x^{4i}=\frac{1}{1-x^4}∑i=0infx4i=1−x41
包子：1+x+x2+x3=1−x41−x1+x+x^2+x^3=\frac{1-x^4}{1-x}1+x+x2+x3=1−x1−x4
土豆：1+x1+x1+x
面包：∑i=0infx3i=11−x3\sum_{i=0}^{inf}x^{3i}=\frac{1}{1-x^3}∑i=0infx3i=1−x31

把它们全部乘起来得：x(1−x)4\frac{x}{(1-x)^4}(1−x)4x，在这个多项式中，nnn次项的系数就是选nnn个食物的方案数。
将(1−x)−4(1-x)^{-4}(1−x)−4展开。根据广义二项式定理，我们知道kkk次项的系数为(−1)k(−4k)(-1)^k(^k_{-4})(−1)k(−4k) ，而
(kn)=∏i=0k−1(n−i)k!(_k^n)=\frac{\prod_{i=0}^{k-1} (n-i)}{k!}(kn)=k!∏i=0k−1(n−i)
所以(1−x)−4(1-x)^{-4}(1−x)−4的nnn次项系数为(n+1)(n+2)(n+3)6\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}6(n+1)(n+2)(n+3)。又因为原多项式还要乘以一个xxx，所以它的nnn次项系数，也就是答案，就是n(n+1)(n+2)6\frac{n(n+1)(n+2)}{6}6n(n+1)(n+2)
然后边读入边取模什么的一下子就搞出来了。

bzoj3028 食物生成函数+广义二项式定理相关推荐

BZOj 3208 食物生成函数+广义二项式定理
曾经搞过几天的生成函数,也没做几道题,后来放弃了,今天讲了生成函数和背包问题的结合,趁着脑子清醒整理一下: 题目描述: 明明这次又要出去旅游了,和上次不同的是,他这次要去宇宙探险! 我们暂且不讨论他 ...
BZOJ3028食物——生成函数+泰勒展开
题目描述明明这次又要出去旅游了,和上次不同的是,他这次要去宇宙探险!我们暂且不讨论他有多么NC,他又幻想了他应该带一些什么东西.理所当然的,你当然要帮他计算携带N件物品的方案数.他这次又准备带一些 ...
[BZOJ4001] [TJOI2015] 概率论 [期望计数] [卡特兰数打表 / 生成函数广义二项式定理]
[Link\frak{Link}Link] 预备结论们卡特兰数 Cn=(2nn)−(2nn±1)C_n={2n\choose n}-{2n\choose n\pm1}Cn=(n2n)−(n±12 ...
BZOJ 3028: 食物 [生成函数隔板法 | 广义二项式定理]
3028: 食物 Time Limit: 3 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 497 Solved: 331 [Submit][Status][Discuss] ...
bzoj3028 食物 (普通型生成函数)
Description 明明这次又要出去旅游了,和上次不同的是,他这次要去宇宙探险!我们暂且不讨论他有多么NC,他又幻想了他应该带一些什么东西.理所当然的,你当然要帮他计算携带N件物品的方案数.他这 ...
bzoj 3028: 食物（母函数+广义二项式定理）
3028: 食物 Time Limit: 3 Sec Memory Limit: 128 MB Submit: 717 Solved: 502 [Submit][Status][Discuss] ...
生成函数（常见幂级数、广义二项式定理、生成函数的应用）
文章目录生成函数引言定义有关幂级数的有用事实形式幂级数幂级数的和.积广义二项式定理常见的生成函数使用生成函数解决计数问题不定方程的解的个数完全背包问题的方案数有顺序的背包问题的 ...
黑暗爆炸OJ 3028. 食物生成函数
传送门文章目录题意: 思考题意: 思考考虑将每个条件转换成生成函数: (1)f1(x)=1+x2+...=11−x2(1)f_1(x)=1+x^2+...=\frac{1}{1-x^2}(1) ...
bzoj 3208 食物(生成函数)
先推一下生成函数承德汉堡:偶数个 1 + x 2 + x 4 + x 6 + . . . . . . = 1 1 − x 2 1+x^2+x^4+x^6+...... =\frac{1}{1-x^2 ...

bzoj3028 食物生成函数+广义二项式定理

bzoj3028 食物生成函数+广义二项式定理相关推荐

最新文章

热门文章

bzoj3028 食物 生成函数+广义二项式定理

bzoj3028 食物 生成函数+广义二项式定理相关推荐

最新文章

热门文章

bzoj3028 食物生成函数+广义二项式定理

bzoj3028 食物生成函数+广义二项式定理相关推荐