【清风数学建模笔记】第一讲：层次分析法

层次分析法
（The analytic hierarchy process,简称AHP）
建模比赛中最基础的模型之一，其主要用于解决评价类问题（例如：选择哪种方案最好、哪种运动员或者员工表现的更优秀）

文章目录

评价类问题可用打分解决
评价类问题
一致性矩阵
- 一致矩阵怎么计算权重？
- 一致性检验的步骤
- 法一：算数平均法求权重
- 法二：几何平均法求权重
- 法三：特征值法求权重
层次分析法
层次分析法第一步
层次分析法第二步
层次分析法第三步
层次分析法第四步
层次分析法的一些局限性
代码部分
- 输入判断矩阵
- 法一：算术平均法求权重
- 法二：几何平均法求权重
- 法三：特征值法求权重
- 计算一致性比例CR

评价类问题可用打分解决

一个小小的总结
使用打分法解决评价问题，只需要我们补充完成下面这张表格即可：

评价类问题

解决评价类问题，要想到以下三个问题：
①评价的目标是什么？
②为了达到这个目标有哪几种可以选择的方案？
③评价的准则或者说指标是什么？（根据什么东西来评价好坏）

一般而言，前两个问题的答案是显而易见的，第三个问题的答案需要我们根据题目中的背景材料、常识以及网上搜集到的参考资料进行结合，从中筛选出最合适的指标。

强烈推荐一个很腻害的网站：
虫部落-快搜：https://search.chongbuluo.com/

解决方法：
两个两个指标进行比较，最后根据两两比较的结果来推算出权重。

实际上，上面这个矩阵就是层次分析法中的判断矩阵。

！！倍数关系

一致性矩阵

原理：检验我们构造的判断矩阵和一致矩阵是否有太大差别

一致矩阵怎么计算权重？

一致性检验的步骤

第一步：计算一致性指标CI

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI
第三步：计算一致性比例CR

两个小问题

①平均随机一致性指标RI怎么计算来的

②为什么要这么构造CI，为什么要以0.1为划分依据？

法一：算数平均法求权重

①每一个元素除以其所在列的和
②将归一化的各列相加（按行求和）
③将相加后得到的向量中每个元素除以n既可以得到权重向量

法二：几何平均法求权重

①将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
②将新的向量的每个分量开n次方
③对该列向量进行归一化即可得到权重向量

法三：特征值法求权重

层次分析法

层次分析法 (The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家匹兹堡大学教授T.L.Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解决了定性问题定量化的处理过程
AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若千因素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避决策者主观判断的缺点。

层次分析法第一步

注意：层次结构图要放在建模论文中哟

层次分析法第二步

优秀论文的做法

层次分析法第三步

3.由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重，并进行一致性检验（检验通过权重才能用）

层次分析法第四步

层次分析法的一些局限性

评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致性矩阵差异可能会很大。
如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得评价的更加准确呢？

代码部分

在论文写作中，应该先对判断矩阵进行一致性检验，然后再计算权重，因为只有判断矩阵通过了一致性检验，其权重才是有意义的。
在下面的代码中，我们先计算了权重，然后再进行一致性检验，这是为了顺应计算过程，事实上在逻辑上是说不过去的。
因此在写论文过程中如果用到了层次分析法，一定要先对判断矩阵进行一致性检验。
而且要说明的是，只有非一致性矩阵的判断矩阵才需要进行一致性检验。
如果你的判断矩阵本身就是一个一致矩阵，那么就没有必要进行一致性检验。

输入判断矩阵

clear;clc
disp('请输入判断矩阵A： ')
% A = input('判断矩阵A=')
A =[1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% matlab矩阵有两种写法，可以直接写到一行:
% [1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 也可以写成多行:
[1 1 4 1/3 3;1 1 4 1/3 3;1/4 1/4 1 1/3 1/2;3 3 3 1 3;1/3 1/3 2 1/3 1]
% 两行之间以分号结尾（最后一行的分号可加可不加），同行元素之间以空格（或者逗号）分开。

法一：算术平均法求权重

% 第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在列的和）
Sum_A = sum(A)[n,n] = size(A)  % 也可以写成n = size(A,1)
% 因为我们的判断矩阵A是一个方阵，所以这里的r和c相同，我们可以就用同一个字母n表示
SUM_A = repmat(Sum_A,n,1)   %repeat matrix的缩写
% 另外一种替代的方法如下：SUM_A = [];for i = 1:n   %循环哦，这一行后面不能加冒号（和Python不同），这里表示循环n次SUM_A = [SUM_A; Sum_A]end
clc;A
SUM_A
Stand_A = A ./ SUM_A
% 这里我们直接将两个矩阵对应的元素相除即可% 第二步：将归一化的各列相加(按行求和)
sum(Stand_A,2)% 第三步：将相加后得到的向量中每个元素除以n即可得到权重向量
disp('算术平均法求权重的结果为：');
disp(sum(Stand_A,2) / n)
% 首先对标准化后的矩阵按照行求和，得到一个列向量
% 然后再将这个列向量的每个元素同时除以n即可（注意这里也可以用./哦）

法二：几何平均法求权重

% 第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量
clc;A
Prduct_A = prod(A,2)
% prod函数和sum函数类似，一个用于乘，一个用于加  dim = 2 维度是行% 第二步：将新的向量的每个分量开n次方
Prduct_n_A = Prduct_A .^ (1/n)
% 这里对每个元素进行乘方操作，因此要加.号哦。  ^符号表示乘方哦  这里是开n次方，所以我们等价求1/n次方% 第三步：对该列向量进行归一化即可得到权重向量
% 将这个列向量中的每一个元素除以这一个向量的和即可
disp('几何平均法求权重的结果为：');
disp(Prduct_n_A ./ sum(Prduct_n_A))

法三：特征值法求权重

% 第一步：求出矩阵A的最大特征值以及其对应的特征向量
clc
[V,D] = eig(A)    %V是特征向量, D是由特征值构成的对角矩阵（除了对角线元素外，其余位置元素全为0）
Max_eig = max(max(D)) %也可以写成max(D(:))哦~
% 那么怎么找到最大特征值所在的位置了？ 需要用到find函数，它可以用来返回向量或者矩阵中不为0的元素的位置索引。
% 那么问题来了，我们要得到最大特征值的位置，就需要将包含所有特征值的这个对角矩阵D中，不等于最大特征值的位置全变为0
% 这时候可以用到矩阵与常数的大小判断运算
D == Max_eig
[r,c] = find(D == Max_eig , 1)
% 找到D中第一个与最大特征值相等的元素的位置，记录它的行和列。% 第二步：对求出的特征向量进行归一化即可得到我们的权重
V(:,c)
disp('特征值法求权重的结果为：');
disp( V(:,c) ./ sum(V(:,c)) )
% 我们先根据上面找到的最大特征值的列数c找到对应的特征向量，然后再进行标准化。

计算一致性比例CR

%% 计算一致性比例CR
clc
CI = (Max_eig - n) / (n-1);
RI=[0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59];  %注意哦，这里的RI最多支持 n = 15
CR=CI/RI(n);
disp('一致性指标CI=');disp(CI);
disp('一致性比例CR=');disp(CR);
if CR<0.10disp('因为CR < 0.10，所以该判断矩阵A的一致性可以接受!');
elsedisp('注意：CR >= 0.10，因此该判断矩阵A需要进行修改!');
end% % 注意：代码文件仅供参考，一定不要直接用于自己的数模论文中
% % 国赛对于论文的查重要求非常严格，代码雷同也算作抄袭