## 关于二阶振荡因子的伯德图的一些解读

我们在谈到二次振荡因子时，已经默认其阻尼比ζ\large \zetaζ是介于0到1之间，对于二次振荡因子，其频率特性G(jω)H(jω)\large G(j\omega)H(j\omega)G(jω)H(jω)可以写成

11+j2ζωωn−(ωωn)2\LARGE \frac{\Large 1}{1+j2\zeta\frac{\omega}{ \omega_n}-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}1+j2ζωnω−(ωnω)21

所以幅值响应 L(ω)=−20lg[1−(ωωn)2]2+(2ζωωn)2\LARGE L(\omega) = -20lg\sqrt{[1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2]^2+ (\frac{2\zeta \omega}{\omega_n})^2}L(ω)=−20lg[1−(ωnω)2]2+(ωn2ζω)2

当(ωωn)≪1\Large (\frac{\omega}{\omega_n}) \ll1(ωnω)≪1 时， L(ω)≈−20lg1=0\large L(\omega) \approx -20lg1 = 0L(ω)≈−20lg1=0 （1）

当(ωωn)≫1\Large (\frac{\omega}{\omega_n}) \gg1(ωnω)≫1 时， L(ω)≈−20lg(ωωn)4=−40lg(ωωn)\large L(\omega) \approx -20lg\sqrt{(\frac{\omega}{\omega_n})^4} = -40lg(\frac{\omega}{\omega_n})L(ω)≈−20lg(ωnω)4=−40lg(ωnω) （2）

相位特性为

ϕ(ω)=−arctan2ζωωn1−(ωωn)2\LARGE \phi(\omega) = -arc \ tan\frac{\frac{2\zeta\omega}{\omega_n}}{1-(\frac{\omega}{\omega_n})^2}ϕ(ω)=−arc tan1−(ωnω)2ωn2ζω

所以大家可以看到，（1）表示的是一条水平横线，而（2）式代表的则是一条斜率为-40（dB/dec）的，过点（1,0）的直线（注意图上的横坐标变量）。我们可以在图上看到这两条渐近线，这两条渐近线分别在低频和高频对振荡因子进行近似，同时相加于（1,0）点，即在ω=ωn\omega = \omega_nω=ωn处。

但是，由于实际上振荡因子在伯德图上的实际曲线不仅与ω\omegaω有关，而且和阻尼比ζ\zetaζ也有关，当ζ\zetaζ从0到1变化时，振荡因子实际曲线的变化时很明显的。

这是由于存在着多个方面的原因，比如阻尼比介于0到1之间，系统就有着共振的可能，因此在图上会表现幅值在低频区（小于共振频率时）会存在频率增大，幅值响应也增大的情况，当输入频率达到共振频率时，幅值响应达到最大，此后就开始减小。而且还有更具体的解读——阻尼比越小，则共振频率越接近系统的固有频率ωn\large \omega_nωn，而且共振频率处幅值响应会增大，这个原因既可以从L(ω)\large L(\omega)L(ω)的推导中得出，也可以从系统的零极点分布的相关知识定性地得出。

在输入信号频率等于系统自然频率时，所有系统的输出都会滞后于输入90°，这个内容在奈奎斯特曲线那一节已经叙述过，而且幅值响应会变成12ζ\large \frac{1}{2\zeta}2ζ1。

同时阻尼比越小，在低频区系统相位滞后的程度就越低，反映在相频特性曲线上，就是在低频区，阻尼比小的曲线高于阻尼比大的曲线，也就是相位滞后的程度低。但在高频区（ω>ωn\large \omega> \omega_nω>ωn）则会反过来,这个从奈奎斯特图上比较可以看出来，如果在第三象限，阻尼比大的系统要获得和阻尼比小的系统一样的相位滞后，它必须要用很大的频率，因为在第三象限，阻尼比大的系统的奈奎斯特曲线比阻尼比小的系统的奈奎斯特曲线要短很多。（这是单纯从图上理解的，只是我不明白其中的物理原因是什么）。

为什么上述图的共振几乎都发生在ωn\large \omega_nωn处呢，不是应该发生在实际的共振频率处呢？

这是因为精度啊，在对数频率特性上，有阻尼共振频率和无阻尼自然频率是同一个数量级的，尤其是ζ∈(0.3,0.8)\large \zeta \in(0.3,0.8)ζ∈(0.3,0.8)的时候，所以为了方便起见就这样画了。同时在ζ∈(0.3,0.8)\large \zeta \in(0.3,0.8)ζ∈(0.3,0.8)时，实际的（有起伏的）曲线和渐进线是很相似的，所以在这样的情况下渐进线的近似效果还是蛮不错的。同时，为了精确，一般画出渐进线后，都要根据实际的阻尼比，计算出谐振频率ωp\large \omega_pωp和谐振峰值Mp\large M_pMp后，对曲线加以修正。

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