1到n的正整数x出现的次数

【题目】输入一个整数n，求从1到n这n个正数中，x出现的次数。x是1,2,...,9中任意一个。

例如：输入12，x=1，出现一的数字有1，10，11，12共有5个1，则输出5。

输入12，x=2，出现一的数字有2，12共有2个2，则输出2。

输入12，x=3，出现一的数字有3共有1个3，则输出1。

【分析】

网络上流传很广的一道题和它很像：输入一个整数n，求从1到n这n个正数中，1出现的次数。例如：输入12，出现一的数字有1，10，11，12共有5个1，则输出5。

此题是笔者研究了网络上的那道以后自己搞的扩展。

简单方法不再赘述，这里只讨论扩展算法。思路和网络上那道一样，分别计算各位、十位、百位、千位、...上每一位中可能出现的x的个数，然后相加即可。

对于x=1的情况，推荐http://www.cnblogs.com/python27/archive/2011/12/14/2288205.html给出了规律分析，一下转引了该文章的分析部分：

=================================================================================

首先，我们有如下比较容易得到的结论，0-9中1的个数是1个，0-99中十位（10-19）上1的个数是10，0-999中百位上（100-199）上1的个数是100，以此类推。为什么需要这些数字，我们经过简单罗列，很容易发现：个位上1的个数，实际上和这个数字包含多少个10有关，因为对于个位来说，总是从0-9循环，十位上1的个数，实际上和这个数字包含多少个100有关，因为每包含1个100，就有0-99的循环，而0-99中十位上的1是10个；那么关系究竟是什么呢？我们看下面的例子来理解：

　　对于数字123：

　　123/10=12，包含12个10，每个10包含1个1（个位1）所以个位共包含12*1=12个1；余数的情况后面单独讨论；

　　123/100（或者12/10）=1，包含1个100，每个100包含10个1（十位1），所以十位共包含1*10=10个1；余数的情况后面单独讨论；

　　123/1000（或者1/10）=0，包含0个1000，每个1000包含100个1（百位1），所以百位共包含0*100=0个1；余数的情况后面单独讨论；

　　现在考虑余数的两种情况：

　　（1）余数大于1的情况：

　　数个位时，余数3大于1；所以个位上1的个数要+1；

　　数十位时，余数2大于1；因为增加了100-120之间（10-19）的数字即110-119，所以十位上1的个数要+10；

　　（2）余数等于1的情况：

　　数百位时，余数等于1；我们应该增加100-123这24个数字中百位上的1，共计24个；

　　在上面的计算中我们发现123/1000=0包含0个1000，所以百位包含0*100个1,这是常规的情况，实际上由于百位为1，从100到n（123）中还应增加：123-100+1个1.

总结上面的情况：就是对于每一位（个位，十位，百位），我们计算他们“通常”情况下（即该数字包含多少个10，100，1000乘以对应的1的个数）包含的1的个数+该位上余数大于1（等于1）的情况下包含的1的个数 = 该位上1的总个数，所有的位遍历，求和，就好了。

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笔者自己再次总结一下：每一位上1的个数都是由它的高位和自己决定的。123太简单，如果拿3456来看：

第0位（个位）：3456/10 + (6>1) ? 1 : 0 = 345 + 1 = 346

第1位（十位）：(3456/100) * 10 + (5 > 1 ? 10 : (5 == 1 ? 6 + 1 : 0)) = 340 + 10 = 350

第2位（百位）：(3456/1000) * 100 + (4 > 1 ? 100 : (4 == 1 ? 56 + 1 : 0)) = 300 + 100 = 400

第3位（千位）：(3456/10000) * 1000 + (3 > 1 ? 1000 : (3 == 1 ? 456 + 1 : 0)) = 1000

346 + 350 + 400 + 1000 = 2096

通过以上例子可以总结出通向公式：

对于给定的正整数value，v[i]代表第i位上的数字，a[i]代表第i位上x出现的次数，c[i]代表第i位后面的数字组成的整数。i的范围：0到最高位-1，假如给定的value为2345，则i的取值范围：0-3，当i=0时，c[i]=0。那么有：

a[i] = (value / (10 ^ (i+1))) * (10 ^ i) + (v[i] > x ? (10 ^ i) : (v[i] == x ? c[i] + 1 : 0))

将这个公式套用到3456上就可以明白为什么上面用复杂的公式计算各位上1的个数了。

/**
return n^p;
*/
int myPower(int n, int p) {
int ret = 1;
while (p>0) {
ret = ret * n;
p--;
}
return ret;
}
/**
* c[i] = value % (10^i)
* a[i] stands for the number of n occurs in ith (i>=0)
* a[i] = (value / (10 ^ (i+1))) * (10 ^ i) + (v[i] > n ? (10 ^ i) : (v[i] == n ? c[i] + 1 : 0))
*/
int countIthN(int value, int i, int n) {
if (value < 0) {
return -1;
}
if (i == 0) {
return value / 10 + ((value % 10) >= n ? 1 : 0);
}
int pi = myPower(10, i);
int pi_1 = myPower(10, i+1);
int ci = value % pi;
int vi = (value / pi) % 10;
return value / pi_1 * pi + (vi > n ? pi : (vi == n ? (ci + 1) : 0));
}
int countN(int value, int n) {
int ret = 0;
for (int i = 0; value / myPower(10, i); i++) {
ret += countIthN(value, i, n);
}
return ret;
}

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