AES算法相关数学知识

在AES算法中的MixColumn层中会用到伽罗瓦域中的乘法运算，而伽罗瓦域的运算涉及一些数学知识如下；

素域
　　有限域有时也称伽罗瓦域，它指的是由有限个元素组成的集合，在这个集合内可以执行加、减、乘和逆运算。而在密码编码学中，我们只研究拥有有限个元素的域，也就是有限域。域中包含元素的个数称为域的阶。
只有当m是一个素数幂时，即m=pn(其中n为正整数是p的次数，p为素数)，阶为m的域才存在。p称为这个有限域的特征。也就是说，有限域中元素的个数可以是11(p=11是一个素数,n=1)、可以是81(p=3是一个素数，n=4)、也可以是256(p=2是一个素数，n=8).....但有限域的中不可能拥有12个元素，因为12=2·2·3，因此12也不是一个素数幂。
有限域中最直观的例子就是阶为素数的域，即n=1的域。的元素可以用整数0、1、...、p-1l来表示。域的两种操作就是模整数加法和整数乘法模p。加上p是一个素数，整数环Z表示为GF(p)，也成为拥有素数个元素的素数域或者伽罗瓦域。GF(p)中所有的非零元素都存在逆元，GF(p)内所有的运算都是模p实现的。

素域内的算数运算规则如下：
(1)加法和乘法都是通过模p实现的；
(2)任何一个元素a的加法逆元都是由a+(a的逆元)=0 mod p得到的；
(3)任何一个非零元素a的乘法逆元定义为a·a的逆元=1。

例：在素域GF(5)={0、1、2、3、4}中，2的加法逆元为3，这是因为2+(3)=5，5mod5=0,所以2+3=5mod5=0。2的乘法逆元为3，这是因为2·3=6，6mod5=1，所以2·3=6mod5=1。(在很多地方a的加法逆元用-a表示，a的乘法逆元用1/a表示)

注：GF(2)是一个非常重要的素域，也是存在的最小的有限域，由于GF(2)的加法，即模2加法与异或(XOR)门等价，GF(2)的乘法与逻辑与(AND)门等价，所以GF(2)对AES非常重要。

先了解一下；还不能编码；概念还未理解完；AES是DES的继任者；

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